Questão 11: Considere o operador linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que T(x, y, z)=(x+z, z, x+z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. T é diagonalizável? Caso sim, determine uma base tal que [T]_{\alpha}^{\alpha} seja diagonal e descreva [T]_{\alpha}^{\alpha}.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (\,x+z,\;z,\;x+z\,).
O que se pede é (a) os autovalores e autovetores de T e (b) verificar se T é diagonalizável, e em caso afirmativo exibir uma base de autovetores que torne sua matriz diagonal.
Passo 2
Primeiro vamos achar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}.
Temos
que dá z=x\] e \(z=2y, logo x=2y, z=2y. Tomando y=1 obtemos o autovetor (2,1,2). Assim
E_2 = \span\{(2,1,2)\}.
Passo 5
O autovalor \lambda=0 tem multiplicidade algébrica 2, mas seu espaço próprio E_0 é de dimensão 1. Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+1=2<3, não há base de \mathbb{R}^3 formada só por autovetores. Portanto T não é diagonalizável.