Questão 11: Considere o operador linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que T(x, y, z)=(x+z, z, x+z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. T é diagonalizável? Caso sim, determine uma base tal que [T]_{\alpha}^{\alpha} seja diagonal e descreva [T]_{\alpha}^{\alpha}.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z) = (\,x+z,\;z,\;x+z\,).
O que se pede é (a) os autovalores e autovetores de T e (b) verificar se T é diagonalizável, e em caso afirmativo exibir uma base de autovetores que torne sua matriz diagonal.

Passo 2

Primeiro vamos achar a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}.
Temos
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,1),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(0,0,0),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(1,1,1).
Logo a matriz de T na base canônica é
M = [T]_{\text{can}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico \det(M-\lambda I).
\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & -\lambda & 1\\\\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\bigl(-\lambda(1-\lambda)\bigr) +1\cdot\bigl(0\cdot0 -(-\lambda\cdot1)\bigr) =-\lambda(1-\lambda)^2 + \lambda = \lambda^2(2-\lambda).
Daí os autovalores são
\lambda_1=0\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \quad \lambda_2=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 4

Agora os autovetores:
Para \lambda=0\) resolvemos \(M v=0\), ou seja \[\begin{cases} x+z=0,\\\ z=0,\\\ x+z=0, \end{cases}
da segunda equação vem z=0\], daí \[x=0 e y é livre. Assim
E_0 = \ker(M) = \span\{(0,1,0)\},
que tem dimensão 1.
Para \lambda=2 resolvemos (M-2I)v=0, i.e.
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -x+z=0,\\\\ -2y+z=0, \end{cases}
que dá z=x\] e \(z=2y, logo x=2y, z=2y. Tomando y=1 obtemos o autovetor (2,1,2). Assim
E_2 = \span\{(2,1,2)\}.

Passo 5

O autovalor \lambda=0 tem multiplicidade algébrica 2, mas seu espaço próprio E_0 é de dimensão 1. Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+1=2<3, não há base de \mathbb{R}^3 formada só por autovetores. Portanto T não é diagonalizável.

Resposta

T não é diagonalizável.

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