Questão 12: Considere o operador linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que T(x, y, z)=(2 x+y, 3 y+z, z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. Determine uma base tal que [T]_{\alpha}^{\alpha} seja diagonal e descreva [T]_{\alpha}^{\alpha}.
c. Determine matrizes A e A^{-1} tal que [T]_{\alpha}^{\alpha}=A \cdot[T]_{C}^{C} \cdot A^{-1}, onde C é a base canônica de R^{3} e [T]_{\alpha}^{\alpha} é a matriz diagonal encontrada no item (b.).
Passo 1
O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} por
T(x,y,z) = (2x + y,\;3y + z,\;z).
Queremos (a) os autovalores e autovetores de T, (b) uma base \alpha em que a matriz de T seja diagonal, e (c) matrizes A e A^{-1} que diagonalizam [T]_{C}^{C}, onde C é a base canônica de \mathbb{R}^{3}. Para isso vamos primeiro achar a matriz de T na base canônica, depois resolver o polinômio característico para obter autovalores e, em seguida, os autovetores.
Tomando \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} como base de \mathbb{R}^{3}, a matriz de T nessa base é diagonal com as entradas iguais aos autovalores na ordem escolhida. Assim
Autovalores: \lambda_{1}=2,\;\lambda_{2}=3,\;\lambda_{3}=1.
Autovetores correspondentes: v_{1}=(1,0,0), v_{2}=(1,1,0), v_{3}=(1,-1,2).
Base \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} diagonaliza T com