Questão 12: Considere o operador linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que T(x, y, z)=(2 x+y, 3 y+z, z).
a. Determine os autovalores e os autovetores de T.
b. Determine uma base tal que [T]_{\alpha}^{\alpha} seja diagonal e descreva [T]_{\alpha}^{\alpha}.
c. Determine matrizes A e A^{-1} tal que [T]_{\alpha}^{\alpha}=A \cdot[T]_{C}^{C} \cdot A^{-1}, onde C é a base canônica de R^{3} e [T]_{\alpha}^{\alpha} é a matriz diagonal encontrada no item (b.).

Passo 1

O enunciado define o operador linear T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} por
T(x,y,z) = (2x + y,\;3y + z,\;z).
Queremos (a) os autovalores e autovetores de T, (b) uma base \alpha em que a matriz de T seja diagonal, e (c) matrizes A e A^{-1} que diagonalizam [T]_{C}^{C}, onde C é a base canônica de \mathbb{R}^{3}. Para isso vamos primeiro achar a matriz de T na base canônica, depois resolver o polinômio característico para obter autovalores e, em seguida, os autovetores.

Passo 2

Na base canônica C=\{e_{1},e_{2},e_{3}\} temos
T(e_{1}) = T(1,0,0) = (2,0,0),\quad T(e_{2}) = T(0,1,0) = (1,3,0),\quad T(e_{3}) = T(0,0,1) = (0,1,1).
Logo
[T]_{C}^{C} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
que é triangular superior. O polinômio característico é
\det\bigl([T]_{C}^{C}-\lambda I\bigr) = (2-\lambda)(3-\lambda)(1-\lambda),
de onde os autovalores são
\lambda_{1}=2,\;\lambda_{2}=3,\;\lambda_{3}=1.

Passo 3

Para cada \lambda resolvemos \bigl([T]_{C}^{C}-\lambda I\bigr)v=0:
  1. \lambda=2:
    \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\\ 0 & 1 & 1\\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0
    y=0,\;z=0. Autovetores: v_{1}=(1,0,0).
  2. \lambda=3:
    \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\\ 0 & 0 & 1\\\ 0 & 0 & -2\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0
    y=x,\;z=0. Autovetores: v_{2}=(1,1,0).
  3. \lambda=1:
    \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\\ 0 & 2 & 1\\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0
    y=-x,\;z=2x. Autovetores: v_{3}=(1,-1,2).

Passo 4

Tomando \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} como base de \mathbb{R}^{3}, a matriz de T nessa base é diagonal com as entradas iguais aos autovalores na ordem escolhida. Assim
[T]_{\alpha}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Formamos a matriz P cujas colunas são os autovetores v_{1},v_{2},v_{3} escritos na base canônica:
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Sabe-se que
P^{-1}\,[T]_{C}^{C}\,P = [T]_{\alpha}^{\alpha}.
Portanto basta definir
A = P^{-1} \quad\text{e}\quad A^{-1} = P.
Calculando P^{-1} (é triangular superior) obtemos
A = P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

Autovalores:
\lambda_{1}=2,\;\lambda_{2}=3,\;\lambda_{3}=1.
Autovetores correspondentes:
v_{1}=(1,0,0), v_{2}=(1,1,0), v_{3}=(1,-1,2).
Base \alpha=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} diagonaliza T com
[T]_{\alpha}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Matrizes de mudança de base:
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
tal que
[T]_{\alpha}^{\alpha} = A\,[T]_{C}^{C}\,A^{-1}.

Exercícios relacionados