Se \vec{u}=(-1,1,-1) e \vec{v}=(-2,1,1) são vetores diretores de um plano \pi e P=(1,-1,-2) \in \pi, então a equação geral de \pi é:
Escolha uma opção:
a. -2 x+y-3 z-3=0
b. 2 x+3 y+z+3=0
c. -2 x+3 y-z+3=0
d. -2 x-3 y+z+1=0
e. 2 x+y+3 z+5=0

Passo 1

O enunciado dá os vetores diretores \vec{u}=(-1,1,-1) e \vec{v}=(-2,1,1) de um plano \pi e o ponto P=(1,-1,-2) pertence a \pi. Para obter a equação geral do plano, precisamos encontrar um vetor normal \vec{n} a \pi usando o produto vetorial e depois usar a condição
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}:
\vec{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 1 & -1 \\\\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} =\mathbf{i}\,(1\cdot1 -(-1)\cdot1) -\mathbf{j}\,((-1)\cdot1 -(-1)\cdot(-2)) +\mathbf{k}\,((-1)\cdot1 -1\cdot(-2)).
Isso dá
n_x = 1+1 = 2,\quad n_y = -\bigl(-1-2\bigr) = 3,\quad n_z = -1+2 = 1,
logo \vec{n}=(2,3,1).

Passo 3

A equação do plano passa em P e tem normal \vec{n}=(2,3,1), logo
2(x-1)+3(y+1)+1(z+2)=0.
Expandindo,
2x-2 +3y+3 +z+2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x +3y + z +3 = 0.

Passo 4

Comparando com as opções dadas, vemos que a alternativa correta é
\boxed{2x+3y+z+3=0},
que corresponde à opção (b).

Resposta

b

Exercícios relacionados