Questão 11. Considere a série abaixo
Verifique se a série converge e calcule sua soma em caso afirmativo.
Passo 1
Enunciado e pedidos: temos a série
O que o enunciado pede:
- Verificar se a série converge.
- Se convergir, calcular a sua soma.
Informações dadas relevantes:
- O termo geral é
. - Para cada
os denominadores são positivos, logo os termos são positivos (isso será útil para argumentos de convergência).
Passo 2
Primeira ideia (explicar a técnica que vamos usar): quando aparece razão com produtos de termos lineares no denominador, é muito útil escrever frações parciais — isto é, decompor cada fração em somas de frações mais simples do tipo [\dfrac{C}{n+k}). Isso costuma levar a cancelamentos ao somar os termos (soma telescópica). Vou aplicar isso nas duas frações de
.
Decompondo a primeira parte: note que
Queremos números
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Isto significa que, para todo
,
Comparando coeficientes (coeficiente de
e termo constante) temos o sistema
Resolvendo: da primeira equação (A=-B]. Substituindo na segunda:
Portanto
Portanto
Agora decompondo a segunda parte (que é um caso clássico):
pois multiplicando por
verificamos
, consistente.]
Passo 3
Somando as duas decomposições para obter uma forma telescópica do termo geral:
Agrupando termos semelhantes:
Então obtivemos uma expressão em termos de frações simples que costuma cancelar quando somamos muitos termos.
Passo 4
Vamos estudar a soma parcial
Para manipular estas somas, uso a notação de soma harmônica
. Observe que
Logo
Agora expresso
e
em termos de
:
Substituindo:
Os termos com
cancelam porque
. Calculando os demais termos:
e
Portanto obtemos a forma fechada da soma parcial:
Isto mostra o cancelamento telescópico: a dependência harmônica desapareceu e sobrou uma expressão simples em
.]
Passo 5
Agora passo ao limite quando
. Note que
Assim
Como a sequência das somas parciais tem limite finito, a série converge. Além disso, todos os termos são positivos, então a série é (trivialmente) absolutamente convergente.
Breve recado amigo: percebeu como a decomposição em frações parciais transforma um problema aparentemente complicado em cancelamentos simples? Essa técnica é ótima para prova — treine com exemplos como
(que dá soma
) para pegar o jeito.
Resposta
A série converge e sua soma é
.