Questão 11. Considere a série abaixo
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n^{2}+3 n+2}+\frac{1}{n \cdot(n+1)}\right)
Verifique se a série converge e calcule sua soma em caso afirmativo.

Passo 1

Enunciado e pedidos: temos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n^{2}+3 n+2}+\frac{1}{n\cdot(n+1)}\right).
O que o enunciado pede:
  1. Verificar se a série converge.
  2. Se convergir, calcular a sua soma.
Informações dadas relevantes:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{3}{n^{2}+3 n+2}+\frac{1}{n\cdot(n+1)}.
  • Para cada n\ge 1 os denominadores são positivos, logo os termos são positivos (isso será útil para argumentos de convergência).

Passo 2

Primeira ideia (explicar a técnica que vamos usar): quando aparece razão com produtos de termos lineares no denominador, é muito útil escrever frações parciais — isto é, decompor cada fração em somas de frações mais simples do tipo [\dfrac{C}{n+k}). Isso costuma levar a cancelamentos ao somar os termos (soma telescópica). Vou aplicar isso nas duas frações de a_n.
Decompondo a primeira parte: note que
n^{2}+3n+2=(n+1)(n+2).
Queremos números A e B tais que
\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2}.
Multiplicando ambos os lados por (n+1)(n+2) obtemos a identidade polinomial
3 = A(n+2)+B(n+1).
Isto significa que, para todo n,
3 = (A+B)n + (2A + B).
Comparando coeficientes (coeficiente de n e termo constante) temos o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] 2A + B = 3. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação (A=-B]. Substituindo na segunda:
2(-B)+B=3 \implies -B=3 \implies B=-3,\quad A=3.
Portanto
\frac{3}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{n+1}-\frac{3}{n+2}.
Agora decompondo a segunda parte (que é um caso clássico):
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},
pois multiplicando por n(n+1) verificamos 1=(n+1)-n, consistente.]

Passo 3

Somando as duas decomposições para obter uma forma telescópica do termo geral:
a_n=\left(\frac{3}{n+1}-\frac{3}{n+2}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Agrupando termos semelhantes:
a_n=\frac{1}{n}+\left(\frac{3}{n+1}-\frac{1}{n+1}\right)-\frac{3}{n+2} =\frac{1}{n}+\frac{2}{n+1}-\frac{3}{n+2}.
Então obtivemos uma expressão em termos de frações simples que costuma cancelar quando somamos muitos termos.

Passo 4

Vamos estudar a soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n+1}-\frac{3}{n+2}\right).
Para manipular estas somas, uso a notação de soma harmônica H_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}. Observe que
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=H_N, \qquad \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1}=H_{N+1}-1, \qquad \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+2}=H_{N+2}-\left(1+\frac{1}{2}\right)=H_{N+2}-\frac{3}{2}.
Logo
\begin{aligned} S_N &= H_N + 2\bigl(H_{N+1}-1\bigr) -3\bigl(H_{N+2}-\tfrac{3}{2}\bigr)\\[4pt] &= H_N + 2H_{N+1}-2 -3H_{N+2} + \tfrac{9}{2}. \end{aligned}
Agora expresso H_{N+1} e H_{N+2} em termos de H_N:
H_{N+1}=H_N+\frac{1}{N+1},\qquad H_{N+2}=H_N+\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}.
Substituindo:
\begin{aligned} S_N &= H_N + 2\left(H_N+\frac{1}{N+1}\right)-2 -3\left(H_N+\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right)+\tfrac{9}{2}\\[4pt] &= \bigl(H_N+2H_N-3H_N\bigr) + \left(2\cdot\frac{1}{N+1}-3\cdot\frac{1}{N+1}-3\cdot\frac{1}{N+2}\right) +\left(-2+\tfrac{9}{2}\right). \end{aligned}
Os termos com H_N cancelam porque 1+2-3=0. Calculando os demais termos:
2\cdot\frac{1}{N+1}-3\cdot\frac{1}{N+1}=-\frac{1}{N+1},
e
-2+\tfrac{9}{2}=\tfrac{5}{2}.
Portanto obtemos a forma fechada da soma parcial:
S_N=\frac{5}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{3}{N+2}.
Isto mostra o cancelamento telescópico: a dependência harmônica desapareceu e sobrou uma expressão simples em N.]

Passo 5

Agora passo ao limite quando N\to\infty. Note que
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}=0,\qquad \lim_{N\to\infty}\frac{3}{N+2}=0.
Assim
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{5}{2}-0-0=\frac{5}{2}.
Como a sequência das somas parciais tem limite finito, a série converge. Além disso, todos os termos são positivos, então a série é (trivialmente) absolutamente convergente.
Breve recado amigo: percebeu como a decomposição em frações parciais transforma um problema aparentemente complicado em cancelamentos simples? Essa técnica é ótima para prova — treine com exemplos como \sum 1/(n(n+1)) (que dá soma 1) para pegar o jeito.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{5}{2}.

Exercícios relacionados