Questão 12. Considere a série abaixo
Verifique se a série converge e calcule sua soma em caso afirmativo.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas: verificar se a série converge e, caso converge, calcular sua soma. Informações importantes que temos desde o enunciado:
- Os termos gerais são
para . - Todos os termos são positivos (ou seja,
para todo ). - A série é do tipo soma infinita de termos positivos.
Passo 2
Uma observação útil é que podemos escrever a série como soma de duas séries separadas:
Explicação didática da propriedade usada: se duas séries
e
convergirem, então a série termo a termo
também converge e sua soma é a soma das somas. Porém, essa linearidade só permite concluir a soma separada se ambas as séries componentes convergirem. Por isso precisamos analisar separadamente
e
antes de afirmar qualquer coisa sobre a série original.
Passo 3
Analisando a série
(a chamada série harmônica).
Vou usar o Teste da Integral (uma ferramenta padrão para séries com termos positivos):
- Teorema (teste da integral): se
é positiva, contínua e decrescente para e , então converge se, e somente se, a integral imprópria converge.
Aplicamos com. Esta função é positiva, contínua e decrescente para .
Calcule a integral
Quando
,
. Logo a integral imprópria
diverge.
Pelo teste da integral, a série
diverge. (Isto é um resultado clássico: a série harmônica não converge.)
Comentário alternativo curto (opcional, para fixar a intuição): há também a prova por agrupamento que mostra que as somas parciais crescem sem limite, por exemplo
mostrando que os parciais ultrapassam qualquer limite.
Passo 4
Analisando a série
.
Aplicamos o teste do tipo p-série: uma p-série
converge se, e somente se,
. Aqui
, portanto a série
converge.
Pode-se verificar isso também pelo teste da integral com
:
integrais finitas implicam convergência da série pelo mesmo teste.
Observação extra (útil saber, mas não necessária para decidir convergência/divergência da soma): a soma exata desta série é conhecida e vale
resultado clássico (resolução completa exige técnicas como séries de Fourier ou argumentos de Euler).
Passo 5
Conclusão combinando os resultados:
-
diverge. -
converge (para ).
Como os termos são todos positivos, a divergência de
implica que a soma das duas séries
também diverge: ao somar um termo que diverge com outro termo que é finito, o resultado continua divergente. Em outras palavras, as somas parciais da série original são maiores que as somas parciais da série harmônica menos uma constante, portanto divergem para
.
Portanto a série não converge e não tem soma finita.
Resposta
A série diverge (não converge; não possui soma finita).