Questão 12. Considere a série abaixo
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)
Verifique se a série converge e calcule sua soma em caso afirmativo.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)
e pede duas coisas: verificar se a série converge e, caso converge, calcular sua soma. Informações importantes que temos desde o enunciado:
  • Os termos gerais são \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}} para n=1,2,3,\dots.
  • Todos os termos são positivos (ou seja, \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}>0 para todo n).
  • A série é do tipo soma infinita de termos positivos.

Passo 2

Uma observação útil é que podemos escrever a série como soma de duas séries separadas:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Explicação didática da propriedade usada: se duas séries \sum a_n e \sum b_n convergirem, então a série termo a termo \sum (a_n+b_n) também converge e sua soma é a soma das somas. Porém, essa linearidade só permite concluir a soma separada se ambas as séries componentes convergirem. Por isso precisamos analisar separadamente \sum \frac{1}{n} e \sum \frac{1}{n^{2}} antes de afirmar qualquer coisa sobre a série original.

Passo 3

Analisando a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} (a chamada série harmônica).
Vou usar o Teste da Integral (uma ferramenta padrão para séries com termos positivos):
  • Teorema (teste da integral): se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge 1 e a_n=f(n), então \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge.
    Aplicamos com f(x)=\dfrac{1}{x}. Esta função é positiva, contínua e decrescente para x\ge1.
Calcule a integral
\int_{1}^{N}\frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_{1}^{N} = \ln N - \ln 1 = \ln N.
Quando N\to\infty, \ln N \to \infty. Logo a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx diverge.
Pelo teste da integral, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge. (Isto é um resultado clássico: a série harmônica não converge.)
Comentário alternativo curto (opcional, para fixar a intuição): há também a prova por agrupamento que mostra que as somas parciais crescem sem limite, por exemplo
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right) +\cdots \ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots,
mostrando que os parciais ultrapassam qualquer limite.

Passo 4

Analisando a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Aplicamos o teste do tipo p-série: uma p-série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=2>1, portanto a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge.
Pode-se verificar isso também pelo teste da integral com f(x)=x^{-2}:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty} = 0 - (-1)=1,
integrais finitas implicam convergência da série pelo mesmo teste.
Observação extra (útil saber, mas não necessária para decidir convergência/divergência da soma): a soma exata desta série é conhecida e vale
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6},
resultado clássico (resolução completa exige técnicas como séries de Fourier ou argumentos de Euler).

Passo 5

Conclusão combinando os resultados:
  • \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.
  • \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (para \dfrac{\pi^{2}}{6}).
Como os termos são todos positivos, a divergência de \sum \frac{1}{n} implica que a soma das duas séries
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)
também diverge: ao somar um termo que diverge com outro termo que é finito, o resultado continua divergente. Em outras palavras, as somas parciais da série original são maiores que as somas parciais da série harmônica menos uma constante, portanto divergem para +\infty.
Portanto a série não converge e não tem soma finita.

Resposta

A série diverge (não converge; não possui soma finita).

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