Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral da série é
para
. Não há outras condições no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vou lembrar uma condição necessária (e muito simples) para que uma série infinita
possa convergir: os termos
precisam tender a zero quando
. Em símbolos, se a série converge então
Esse fato é chamado de teste da divergência (ou teste do termo geral). Explicando de forma intuitiva: se os pedaços que eu somo não estão ficando cada vez menores e tendendo a zero, a soma total não pode estabilizar num valor finito.
Passo 3
Vou aplicar o teste da divergência à nossa série. O termo geral é
Precisamos calcular o limite
.
Passo 4
Observe que
. Para qualquer base
vale que
cresce sem limite quando
, isto é,
Uma forma rápida de ver isso é escrever
como
o expoente
, então a expressão tende a
. Portanto
Passo 5
Pelo teste da divergência: como
, a série
não pode convergir. Logo a série diverge.
Passo 6
Como complemento didático: esta série é uma série geométrica com razão
. Lembrete útil sobre séries geométricas: a série
converge se, e somente se,
; quando
sua soma é
No nosso caso
tem
, então pela propriedade das séries geométricas a série também diverge. Usei aqui duas maneiras simples (teste do termo e reconhecimento como geométrica) para reforçar o raciocínio.
Resposta
Divergente