Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral da série é
a_n=\left(\frac{4}{3}\right)^{n}
para n=1,2,3,\dots. Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar uma condição necessária (e muito simples) para que uma série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
possa convergir: os termos a_n precisam tender a zero quando n\to\infty. Em símbolos, se a série converge então
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Esse fato é chamado de teste da divergência (ou teste do termo geral). Explicando de forma intuitiva: se os pedaços que eu somo não estão ficando cada vez menores e tendendo a zero, a soma total não pode estabilizar num valor finito.

Passo 3

Vou aplicar o teste da divergência à nossa série. O termo geral é
a_n=\left(\frac{4}{3}\right)^{n}.
Precisamos calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 4

Observe que \frac{4}{3}>1. Para qualquer base r>1 vale que r^{n} cresce sem limite quando n\to\infty, isto é,
\lim_{n\to\infty} r^{n}=+\infty\quad\text{quando }r>1.
Uma forma rápida de ver isso é escrever
\left(\frac{4}{3}\right)^{n}=e^{n\ln\!\left(\frac{4}{3}\right)},
como \ln\!\left(\frac{4}{3}\right)>0 o expoente n\ln\!\left(\frac{4}{3}\right)\to+\infty, então a expressão tende a +\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}=+\infty\neq 0.

Passo 5

Pelo teste da divergência: como \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
não pode convergir. Logo a série diverge.

Passo 6

Como complemento didático: esta série é uma série geométrica com razão r=\frac{4}{3}. Lembrete útil sobre séries geométricas: a série
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge se, e somente se, |r|<1; quando |r|<1 sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso r=\frac{4}{3} tem |r|>1, então pela propriedade das séries geométricas a série também diverge. Usei aqui duas maneiras simples (teste do termo e reconhecimento como geométrica) para reforçar o raciocínio.

Resposta

Divergente

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