Questão 11. Dada a equação \sqrt{x}=\cos (x). Diga se tal equação possui solução em [0,1]. Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a equação \sqrt{x}=\cos(x) possui solução no intervalo [0,1] e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita x está sendo procurada no intervalo [0,1].
  • A equação relaciona a função raiz quadrada \sqrt{x} e a função cosseno \cos(x).
  • Ambas as expressões estão bem definidas para todo x\in[0,1].

Passo 2

Transformar o problema em busca de uma raiz de uma função. Defino a função
f(x)=\sqrt{x}-\cos(x).
Resolver \sqrt{x}=\cos(x) é equivalente a encontrar x\in[0,1] tal que f(x)=0.

Passo 3

Explicar por que podemos usar o fato de mudança de sinal para concluir existência de raiz. Preciso da continuidade de f em [0,1].
  • A função x\mapsto\sqrt{x} é contínua em [0,1].
  • A função x\mapsto\cos(x) é contínua em [0,1].
    Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas, a função
f(x)=\sqrt{x}-\cos(x)
é contínua em [0,1]. Isso é importante porque o Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz: se uma função contínua em [a,b] assume sinais opostos em a e b, então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) com f\text{(c)}=0.

Passo 4

Calcular os valores de f nas extremidades do intervalo para ver se há mudança de sinal.
  • Em x=0 temos
f(0)=\sqrt{0}-\cos(0)=0-1=-1,
portanto f(0)<0.
  • Em x=1 temos
f(1)=\sqrt{1}-\cos(1)=1-\cos(1).
Sabemos que \cos(1)\neq1 (o cosseno vale 1 apenas em x=0+2k\pi, e 1 não é da forma 2k\pi para k\in\mathbb{Z}), e além disso \cos(1)>0 porque 1<\tfrac{\pi}{2}. Logo 0<\cos(1)<1, o que implica
f(1)=1-\cos(1)>0.
Assim f(0)<0 e f(1)>0: há mudança de sinal entre as extremidades.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Como f é contínua em [0,1] e f(0)\cdot f(1)<0, o TVI garante que existe pelo menos um ponto c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0,
ou seja, existe c\in(0,1) satisfazendo \sqrt{c}=\cos\text{(c)}. Portanto a equação tem solução em [0,1].

Passo 6

Argumento adicional (única raiz): mostrar que a solução é única no intervalo. Mostro que f é estritamente crescente em [0,1]. Duas observações simples:
  • A função x\mapsto\sqrt{x} é estritamente crescente em [0,1]: se 0\le a<b\le1 então \sqrt{a}<\sqrt{b}.
  • A função x\mapsto\cos(x) é estritamente decrescente em [0,1] porque sua derivada é -\sin(x) e \sin(x)>0 para x\in(0,1]; portanto se 0\le a<b\le1 então \cos(a)>\cos(b).
    Para 0\le a<b\le1 tem-se
f(b)-f(a)=(\sqrt{b}-\sqrt{a})-(\cos(b)-\cos(a)).
Aqui \sqrt{b}-\sqrt{a}>0 e \cos(b)-\cos(a)<0, então -(\cos(b)-\cos(a))>0. Assim f(b)-f(a)>0. Logo f é estritamente crescente em [0,1]. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz. Combinando com a existência já provada, concluímos que existe exatamente uma solução em [0,1].

Passo 7

Resumo prático (como provar rápido numa prova):
  • Defina f(x)=\sqrt{x}-\cos(x).
  • Mostre que f é contínua em [0,1].
  • Calcule f(0)=-1 e observe f(1)=1-\cos(1)>0. Como há mudança de sinal, aplique o TVI para garantir existência de c\in(0,1) com f\text{(c)}=0.
  • Para unicidade, note que \sqrt{x} cresce e \cos(x) decresce em [0,1], logo f é estritamente crescente e a raiz é única.

Resposta

Sim. Existe exatamente uma solução x\in(0,1) da equação \sqrt{x}=\cos(x).

Exercícios relacionados