Questão 11. Dada a equação
. Diga se tal equação possui solução em
. Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a equação
possui solução no intervalo
e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A incógnita
está sendo procurada no intervalo . - A equação relaciona a função raiz quadrada
e a função cosseno . - Ambas as expressões estão bem definidas para todo
.
Passo 2
Transformar o problema em busca de uma raiz de uma função. Defino a função
Resolver
é equivalente a encontrar
tal que
.
Passo 3
Explicar por que podemos usar o fato de mudança de sinal para concluir existência de raiz. Preciso da continuidade de
em
.
- A função
é contínua em . - A função
é contínua em .
Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas, a função
é contínua em
. Isso é importante porque o Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz: se uma função contínua em
assume sinais opostos em
e
, então existe pelo menos um ponto
com
.
Passo 4
Calcular os valores de
nas extremidades do intervalo para ver se há mudança de sinal.
- Em
temos
portanto
.
- Em
temos
Sabemos que
(o cosseno vale
apenas em
, e
não é da forma
para
), e além disso
porque
. Logo
, o que implica
Assim
e
: há mudança de sinal entre as extremidades.
Passo 5
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Como
é contínua em
e
, o TVI garante que existe pelo menos um ponto
tal que
ou seja, existe
satisfazendo
. Portanto a equação tem solução em
.
Passo 6
Argumento adicional (única raiz): mostrar que a solução é única no intervalo. Mostro que
é estritamente crescente em
. Duas observações simples:
- A função
é estritamente crescente em : se então . - A função
é estritamente decrescente em porque sua derivada é e para ; portanto se então .
Paratem-se
Aqui
e
, então
. Assim
. Logo
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz. Combinando com a existência já provada, concluímos que existe exatamente uma solução em
.
Passo 7
Resumo prático (como provar rápido numa prova):
- Defina
. - Mostre que
é contínua em . - Calcule
e observe . Como há mudança de sinal, aplique o TVI para garantir existência de com . - Para unicidade, note que
cresce e decresce em , logo é estritamente crescente e a raiz é única.
Resposta
Sim. Existe exatamente uma solução
da equação
.