Problema 5. Considere uma partícula de massa m\) confinada em um poço de potencial unidimensional infinito definido por
\[V(x)= \begin{cases}0, & 0<x<L, \\\ \infty, & \text { caso contrário. }\end{cases}
a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para a região 0<x<L\].
b) Determine as condições de contorno impostas pelo potencial e explique seu significado físico.
c) Resolva a equação de Schrödinger e obtenha as autofunções normalizadas \(\psi_{n}(x) e os autovalores de energia E_{n}.
d) Calcule o valor esperado da posição \langle x\rangle para um estado estacionário n.
e) Discuta por que o estado fundamental não possui energia nula, mesmo na ausência de potencial dentro do poço.
Passo 1
O enunciado fornece uma partícula de massa m\) confinada em um poço infinito unidimensional com potencial
\[V(x)= \begin{cases}0, & 0<x<L, \\\ \infty, & \text{caso contrário.}\end{cases}
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para a região 0<x<L\].
- (b) Determinar as condições de contorno impostas pelo potencial e explicar o significado físico dessas condições.
- \text{(c)} Resolver a equação e obter as autofunções normalizadas \(\psi_n(x) e os autovalores de energia E_n.
- (d) Calcular o valor esperado da posição \langle x\rangle para um estado estacionário de índice n.
- (e) Explicar por que o estado fundamental não tem energia nula, mesmo com V(x)=0 dentro do poço.
Informações relevantes dadas:
O potencial é zero no interior do poço e infinito fora, portanto a partícula está estritamente confinada em 0<x<L.
A massa da partícula é m e o tamanho do poço é L.
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo no interior do poço.
A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão é a equação de autovalores para o Hamiltoniano cinético + potencial. No interior do poço, onde V(x)=0, a equação é
Explicação rápida: o operador energia cinética é -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}. Como V(x)=0 dentro do poço, o Hamiltoniano age só como energia cinética aí.
Passo 3
Determinar as condições de contorno impostas pelo potencial e explicar o significado físico.
Condições matemáticas:
Fora do intervalo 0<x<L, V(x)=\infty. Isso torna a probabilidade de encontrar a partícula fora do poço nula, logo \psi(x)=0 para x\le0 e para x\ge L.
A função de onda deve ser contínua. Assim, nos limites x=0 e x=L devemos ter
\psi(0)=0,\qquad \psi(L)=0.
Significado físico (em termos simples):
Paredes infinitas são impenetráveis; a partícula não pode estar fora do poço, então a probabilidade fora é zero.
A continuidade da função de onda é exigida pela mecânica quântica (e pelo fato de que o operador de energia envolve derivada segunda; soluções físicas não podem pular arbitrariamente).
Essas condições quantizam as soluções — só algumas funções satisfazem ambas as equações diferenciais e as condições de contorno, daí energias discretas.
Passo 4
Resolver a equação diferencial geral dentro do poço.
Reescrevendo a equação, definimos
k^2\equiv \frac{2mE}{\hbar^2},
o que transforma a equação em
\frac{d^2\psi}{dx^2} + k^2\psi = 0.
A solução geral desta equação harmônica é
\psi(x)=A\sin(kx) + B\cos(kx),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno e normalização.
Passo 5
Aplicar a condição em x=0 para reduzir a solução.
A condição \psi(0)=0 implica
\psi(0)=A\sin(0)+B\cos(0)=B=0.
Logo B=0 e a solução fica
\psi(x)=A\sin(kx).
Passo 6
Aplicar a condição em x=L e obter a quantização de k e de E.
A condição \psi(L)=0 dá
\psi(L)=A\sin(kL)=0.
Para uma solução não-trivial (ou seja, A\neq 0) precisamos de
\sin(kL)=0 \quad\Rightarrow\quad kL = n\pi,
onde n é um número inteiro. O caso n=0 corresponde a \psi\equiv 0 (não física), então tomamos n=1,2,3,\dots.
Assim
k = \frac{n\pi}{L}.
Substituindo a definição de k em E,
E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{\!2} = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}.
Aqui:
n é o número quântico positivo;
cada n dá um autovalor de energia E_n distinto; as energias são discretas (quantizadas).
Passo 7
Normalizar as autofunções — encontrar a constante A.
Temos \psi_n(x)=A\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) nos 0<x<L. A normalização exige
Os termos com \sin\!\bigl(\tfrac{2n\pi x}{L}\bigr) avaliado em 0 e L são zero (pois \sin(2n\pi)=0). A integral restante dá diferença de cossenos que também se anula entre 0 e L. Portanto a segunda integral é zero. Assim
Interpretação: para qualquer estado estacionário n, a média da posição é o centro do poço, L/2. Intuitivamente, embora a função de onda não seja simétrica em torno de zero (o poço está em [0,L]), há simetria em torno do centro do poço que faz com que \langle x\rangle=L/2.
Passo 10
Explicar por que o estado fundamental não tem energia nula.
Argumentos claros e a prova curta:
Solução direta: o menor n permitido é n=1, então a menor energia possível é
E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}>0.
Logo não existe estado com energia E=0.
Intuição física via condições de contorno: uma energia zero corresponderia a uma função de onda com derivada segunda nula (solução linear ou constante). A única função constante que satisfaria \psi(0)=\psi(L)=0 é a função nula \psi\equiv 0, que não é física (não normalizável). Então não há função normalizável com E=0.
Heisenberg (intuição quântica): confinar a partícula num intervalo de comprimento aproximado L reduz a incerteza de posição \Delta x\sim L. Pelo princípio da incerteza,
\Delta x\,\Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2}
implica \Delta p \gtrsim \dfrac{\hbar}{2L}. Logo a energia cinética esperada tem uma contribuição mínima
um valor positivo. Assim, confinamento força flutuações de momento e, portanto, energia mínima não nula.
Concisão para prova: use a equação de autovalores para mostrar E_1=\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2} e cite o princípio da incerteza para dar a intuição física.
Resposta
(a) -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi para 0<x<L.
(b) \psi(0)=0 e \psi(L)=0. Significado: paredes infinitas são impenetráveis, portanto a probabilidade de achar a partícula fora do intervalo é zero e a função de onda deve desaparecer nas bordas.
(c) \displaystyle \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\quad n=1,2,3,\dots,\;0<x<L, com autovalores \displaystyle E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}.
(d) \displaystyle \langle x\rangle = \frac{L}{2} para todo n.
(e) Porque a menor solução física tem n=1 e E_1=\dfrac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}>0; fisicamente, o confinamento reduz \Delta x e pelo princípio da incerteza gera \Delta p\neq0, o que implica energia cinética mínima não nula.