Pelo Teste da Raiz, determine se as séries convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Raiz na série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right)^{n}.
O conteúdo é o Teste da Raiz, que exige calcular
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right)^{n}\right|}
e comparar com 1.

Passo 2

Aplicamos a definição do Teste da Raiz:
\sqrt[n]{\left|\left(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\right)^{n}\right|} =\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}.

Passo 3

Agora calculamos o limite dessa expressão quando n\to\infty. Dividindo numerador e denominador por n^{2}, temos
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1} =\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}} \longrightarrow \frac{1+0}{2+0} =\frac12.
Portanto
L = \frac12.

Passo 4

Como L=\tfrac12<1, o Teste da Raiz garante que a série converge absolutamente, logo ela converge.

Resposta

A série converge.

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