Questão 1) Estude a convergência das sequências:
a) a_{n}=\frac{1}{n^{2}}
b) b_{n}=2+\frac{1}{n}
c) \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)
d) \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a_{n} \cdot b_{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência das sequências
a_{n}=\frac{1}{n^{2}} e b_{n}=2+\frac{1}{n}
e depois obter
\lim_{n\to+\infty}(a_{n}+b_{n}) e \lim_{n\to+\infty}(a_{n}\cdot b_{n}).
O conteúdo principal é definição de limite de sequência e as propriedades de limite (soma e produto).

Passo 2

Para estudar \lim_{n\to+\infty}a_{n}, note que \frac{1}{n^{2}} é sempre positiva e vai caindo conforme n cresce. Mais precisamente, usando o fato de que n^{2}\to+\infty, temos
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.

Passo 3

Para estudar \lim_{n\to+\infty}b_{n}, escrevemos
b_{n}=2+\frac{1}{n}
e usamos que \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. Então
\lim_{n\to+\infty}b_{n}=2+0=2.

Passo 4

Para o limite da soma, aplicamos a propriedade
\lim_{n\to+\infty}(a_{n}+b_{n}) =\lim_{n\to+\infty}a_{n}+\lim_{n\to+\infty}b_{n}.
Substituindo os resultados anteriores,
\lim_{n\to+\infty}(a_{n}+b_{n})=0+2=2.

Passo 5

Para o limite do produto, a propriedade diz
\lim_{n\to+\infty}(a_{n}\cdot b_{n}) =\bigl(\lim_{n\to+\infty}a_{n}\bigr)\cdot\bigl(\lim_{n\to+\infty}b_{n}\bigr).
Logo
\lim_{n\to+\infty}(a_{n}\cdot b_{n})=0\cdot2=0.

Resposta

a) \displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_{n}=0
b) \displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_{n}=2
c) \displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_{n}+b_{n})=2
d) \displaystyle\lim_{n\to+\infty}(a_{n}\cdot b_{n})=0

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