Questão 5. a) Suponha que a_{n} e b_{n} são sequências numéricas positivas tais que
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0
Se a série \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} converge, o que se pode afirmar sobre a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} ? Justifique sua resposta.
b) Utilize o resultado acima para dizer se a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^{3}} converge ou diverge.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá-se que as sequências a_{n} e b_{n} são positivas para todo n e que
\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=0.
  • Dá-se também que a série \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} converge.
  • Pergunta (a): o que se pode afirmar sobre a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}? (é para justificar).
  • Pergunta (b): usar o resultado de (a) para decidir sobre a convergência da série \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln n}{n^{3}}.

Passo 2

Ideia útil e ferramenta básica que vamos usar: teste da comparação direta para séries de termos positivos.
Explicação didática do teste da comparação direta:
  • Se x_{n} e y_{n} são termos positivos e existe um N e uma constante C>0 tais que, para todo n\ge N,
x_{n}\le C\,y_{n},
então:
  • se \sum y_{n} converge, então \sum x_{n} também converge (porque a soma do “resto” a partir de N fica limitada por C vezes a soma convergente de y_{n});
  • se \sum x_{n} diverge e x_{n}\ge c\,y_{n} para algum c>0 a partir de N, então \sum y_{n} também diverge.
No nosso caso, queremos usar a primeira parte: mostrar que a_{n} fica majorada por uma constante vezes b_{n} a partir de certo índice.

Passo 3

Usar o fato \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=0 para obter a comparação.
Significado da condição de limite: dizer que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=0
significa que, para qualquer \varepsilon>0, existe N(\varepsilon) tal que, para todo n\ge N(\varepsilon),
\frac{a_{n}}{b_{n}}<\varepsilon.
Escolha \varepsilon=1. Então existe N tal que, para todo n\ge N,
\frac{a_{n}}{b_{n}}<1 \quad\Longrightarrow\quad a_{n}<b_{n}.
Portanto há uma desigualdade direta entre os termos a partir de um índice N: para todo n\ge N,
0\le a_{n}\le b_{n}.

Passo 4

Conclusão da convergência de \sum a_{n} usando a comparação.
Como \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} converge, a sub-série (ou “cauda”) \sum_{n=N}^{+\infty} b_{n} também converge (somar a partir de N só tira um número finito de termos). Pela desigualdade a_{n}\le b_{n} para n\ge N, a série de termos positivos \sum_{n=N}^{+\infty} a_{n} é majorada pela convergente \sum_{n=N}^{+\infty} b_{n}. Logo \sum_{n=N}^{+\infty} a_{n} converge. Somando os primeiros N-1 termos (um número finito), concluímos que a série completa \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge.
Assim, respondendo (a): se \sum b_{n} converge e \dfrac{a_{n}}{b_{n}}\to0 com a_{n},b_{n}\ge0, então \sum a_{n} converge.
Comentário motivador: intuitivamente, a_{n} é muito menor que b_{n} para n grande (a razão vai a zero), então não tem como \sum a_{n} divergir quando \sum b_{n} já soma a algo finito.

Passo 5

Aplicação a \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln n}{n^{3}}.
Escolher uma série b_{n} convergente conveniente. Uma escolha natural é a série p de parâmetro p=2:
b_{n}=\frac{1}{n^{2}},
pois sabe-se (teorema clássico) que \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge quando p>1; assim \sum b_{n}=\sum \dfrac{1}{n^{2}} converge.
Calcule a razão entre o termo dado e b_{n}:
\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\dfrac{\ln n}{n^{3}}}{\dfrac{1}{n^{2}}}=\frac{\ln n}{n}.
Agora precisamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}.
Explicação didática desse limite: considerar a função contínua f(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x>0. Pelo método de l’Hôpital (ou por conhecimento padrão de que log cresce muito mais devagar que polinômios), temos
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0,
pois as derivadas dão \dfrac{1/x}{1}=1/x que tende a 0. O valor do limite da função em +\infty é o mesmo limite da sequência nos inteiros, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
Portanto \dfrac{a_{n}}{b_{n}}\to0. Pelas conclusões do item (a), como \sum b_{n}=\sum 1/n^{2} converge, a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^{3}}
também converge.

Passo 6

Resumo final e reforço prático:
  • Regra usada: se a_{n},b_{n}\ge0 e \dfrac{a_{n}}{b_{n}}\to0 e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} converge. A prova é direta: para \varepsilon=1 obtém-se a_{n}\le b_{n} a partir de algum N, e daí comparação direta das caudas.
  • Aplicação: comparando \dfrac{\ln n}{n^{3}} com \dfrac{1}{n^{2}} obteve-se razão \dfrac{\ln n}{n}\to0, portanto converge.

Resposta

(a) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge.
(b) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\ln n}{n^{3}} converge.

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