Questão 5. a) Suponha que
e
são sequências numéricas positivas tais que
Se a série
converge, o que se pode afirmar sobre a série
? Justifique sua resposta.
b) Utilize o resultado acima para dizer se a série
converge ou diverge.
b) Utilize o resultado acima para dizer se a série
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dá-se que as sequências
e são positivas para todo e que
- Dá-se também que a série
converge. - Pergunta (a): o que se pode afirmar sobre a série
? (é para justificar). - Pergunta (b): usar o resultado de (a) para decidir sobre a convergência da série
.
Passo 2
Ideia útil e ferramenta básica que vamos usar: teste da comparação direta para séries de termos positivos.
Explicação didática do teste da comparação direta:
- Se
e são termos positivos e existe um e uma constante tais que, para todo ,
então:
- se
converge, então também converge (porque a soma do “resto” a partir de fica limitada por vezes a soma convergente de ); - se
diverge e para algum a partir de , então também diverge.
No nosso caso, queremos usar a primeira parte: mostrar que
fica majorada por uma constante vezes
a partir de certo índice.
Passo 3
Usar o fato
para obter a comparação.
Significado da condição de limite: dizer que
significa que, para qualquer
, existe
tal que, para todo
,
Escolha
. Então existe
tal que, para todo
,
Portanto há uma desigualdade direta entre os termos a partir de um índice
: para todo
,
Passo 4
Conclusão da convergência de
usando a comparação.
Como
converge, a sub-série (ou “cauda”)
também converge (somar a partir de
só tira um número finito de termos). Pela desigualdade
para
, a série de termos positivos
é majorada pela convergente
. Logo
converge. Somando os primeiros
termos (um número finito), concluímos que a série completa
converge.
Assim, respondendo (a): se
converge e
com
, então
converge.
Comentário motivador: intuitivamente,
é muito menor que
para
grande (a razão vai a zero), então não tem como
divergir quando
já soma a algo finito.
Passo 5
Aplicação a
.
Escolher uma série
convergente conveniente. Uma escolha natural é a série p de parâmetro
:
pois sabe-se (teorema clássico) que
converge quando
; assim
converge.
Calcule a razão entre o termo dado e
:
Agora precisamos o limite
Explicação didática desse limite: considerar a função contínua
para
. Pelo método de l’Hôpital (ou por conhecimento padrão de que log cresce muito mais devagar que polinômios), temos
pois as derivadas dão
que tende a
. O valor do limite da função em
é o mesmo limite da sequência nos inteiros, logo
Portanto
. Pelas conclusões do item (a), como
converge, a série
também converge.
Passo 6
Resumo final e reforço prático:
- Regra usada: se
e e converge, então converge. A prova é direta: para obtém-se a partir de algum , e daí comparação direta das caudas. - Aplicação: comparando
com obteve-se razão , portanto converge.
Resposta
(a) A série
converge.
(b) A série converge.
(b) A série