Questão 11 Um dipolo elétrico de momento dipolar \vec{p}=(3 \hat{i}+4 \hat{j})\left(1,24 \times 10^{-30} C . m\right), é submetido a um campo elétrico \vec{E}=(4000 N / C) \hat{i}. (a) Qual é a energia potencial do dipolo elétrico? (b) Qual é o torque que age sobre o dipolo? (c) Se um agente externo faz girar o dipolo até que o momento dipolar seja \vec{p}=(4 \hat{i}+3 \hat{j})\left(1,24 \times 10^{-30} C . m\right), qual é o trabalho realizado pelo agente externo?

Passo 1

O enunciado dá um dipolo elétrico de momento dipolar \displaystyle \vec{p}=(3\,\hat{i}+4\,\hat{j})\bigl(1,24\times10^{-30}\,\mathrm{C\cdot m}\bigr)
num campo elétrico uniforme \displaystyle \vec{E}=4000\,\hat{i}\,\mathrm{N/C}.
Vamos usar as fórmulas clássicas de eletrostática de dipolo:
– Energia potencial: \displaystyle U=-\vec{p}\cdot\vec{E}.
– Torque: \displaystyle \vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E}.
– Trabalho de um agente externo, em rotação lenta, é W_{\rm ext}=-\Delta U.

Passo 2

Primeiro extraímos as componentes numéricas de \vec{p}:
p_x=3\times1,24\times10^{-30}=3,72\times10^{-30}\,\mathrm{C\cdot m}, \quad p_y=4\times1,24\times10^{-30}=4,96\times10^{-30}\,\mathrm{C\cdot m}.
Como \vec{E}=(4000\,\hat{i}), só E_x é não nula.

Passo 3

Usando
U=-\vec{p}\cdot\vec{E} =-p_x\,E_x = -\bigl(3,72\times10^{-30}\bigr)\,(4000) = -1,488\times10^{-26}\,\mathrm{J},
ou seja, \displaystyle U\approx -1,49\times10^{-26}\,\mathrm{J}.

Passo 4

O torque é
\vec{\tau}=\vec{p}\times\vec{E} =\begin{vmatrix} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\ p_x&p_y&0\\\ E_x&0&0 \end{vmatrix} =(0,0,-p_yE_x)
\implies \vec{\tau}=-\bigl(4,96\times10^{-30}\bigr)(4000)\,\hat{k} =-1,984\times10^{-26}\,\hat{k}\;\mathrm{N\cdot m},
ou seja, \displaystyle \vec{\tau}\approx -1,98\times10^{-26}\,\hat{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Quando o dipolo vai para \displaystyle \vec{p}_f=(4\,\hat{i}+3\,\hat{j})(1,24\times10^{-30}),
temos
U_f=-p_{f,x}E_x =-\bigl(4,96\times10^{-30}\bigr)(4000) =-1,984\times10^{-26}\,\mathrm{J}.
Logo
\Delta U=U_f-U_i =-1,984\times10^{-26}-(-1,488\times10^{-26}) =-0,496\times10^{-26}\,\mathrm{J}.
O trabalho do agente externo é
W_{\rm ext}=-\Delta U =+0,496\times10^{-26}\,\mathrm{J} =4,96\times10^{-27}\,\mathrm{J}.

Resposta

(a) \displaystyle U=-1,49\times10^{-26}\,\mathrm{J}.
(b) \displaystyle \vec{\tau}=-1,98\times10^{-26}\,\hat{k}\,\mathrm{N\cdot m}.
(c) \displaystyle W_{\rm ext}=4,96\times10^{-27}\,\mathrm{J}.

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