Exercício 7. Na década de 1950, o físico Geoffrey Taylor usou análise dimensional e fotografias de explosões nucleares para estimar a energia liberada pela bomba atômica, mesmo com a informação classificada. Ele percebeu que o raio R da bola de fogo em um instante t depende apenas da energia E da explosão, da densidade do ar \rho e do tempo t.
a) Use análise dimensional para mostrar que R \propto\left(\frac{E t^{2}}{\rho}\right)^{1 / 5}.
b) Explique por que essa dependência permite estimar E a partir de R(t).

Passo 1

O enunciado diz que o raio R da bola de fogo depende apenas da energia E da explosão, da densidade do ar \rho e do tempo t. O objetivo é usar análise dimensional para encontrar como R escala com esses parâmetros e depois explicar como estimar E medindo R(t).

Passo 2

Primeiro listamos as dimensões básicas de cada grandeza:
[R] = L, \quad [E] = M\,L^2\,T^{-2}, \quad [\rho] = M\,L^{-3}, \quad [t] = T.
Como só dependem dessas três, suponhamos a forma geral
R \propto E^a\,\rho^b\,t^c.
As dimensões do lado direito são
[E^a\,\rho^b\,t^c] = M^{a+b}\,L^{2a-3b}\,T^{-2a+c}.

Passo 3

Igualamos expoentes de cada dimensão aos de R:
  1. Massa: a + b = 0.
  2. Comprimento: 2a - 3b = 1.
  3. Tempo: -2a + c = 0.

Passo 4

Resolvendo o sistema:
a + b =0\Rightarrow b = −a,
2a − 3(−a) =1\Rightarrow 5a =1\Rightarrow a =1/5,
c =2a =2/5.
Então
R \propto E^{1/5}\,\rho^{-1/5}\,t^{2/5} \quad\Longrightarrow\quad R\propto\Bigl(\frac{E\,t^2}{\rho}\Bigr)^{1/5}.

Passo 5

Da relação R\propto(E\,t^2/\rho)^{1/5} segue que
E\propto \frac{\rho\,R^5}{t^2}.
Medindo-se experimentalmente R em função de t (e sabendo \rho), basta ajustar essa escala para determinar E.

Resposta

a) R\propto\bigl(\tfrac{E\,t^2}{\rho}\bigr)^{1/5}.
b) Como inverte-se a relação para E\propto\rho\,R^5/t^2, basta medir R(t) e conhecer \rho para estimar a energia E.

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