Exercício 7. Na década de 1950, o físico Geoffrey Taylor usou análise dimensional e fotografias de explosões nucleares para estimar a energia liberada pela bomba atômica, mesmo com a informação classificada. Ele percebeu que o raio
da bola de fogo em um instante
depende apenas da energia
da explosão, da densidade do ar
e do tempo
.
a) Use análise dimensional para mostrar que
.
b) Explique por que essa dependência permite estimar
a partir de
.
a) Use análise dimensional para mostrar que
b) Explique por que essa dependência permite estimar
Passo 1
O enunciado diz que o raio
da bola de fogo depende apenas da energia
da explosão, da densidade do ar
e do tempo
. O objetivo é usar análise dimensional para encontrar como
escala com esses parâmetros e depois explicar como estimar
medindo
.
Passo 2
Primeiro listamos as dimensões básicas de cada grandeza:
Como só dependem dessas três, suponhamos a forma geral
As dimensões do lado direito são
Passo 3
Igualamos expoentes de cada dimensão aos de
:
- Massa:
. - Comprimento:
. - Tempo:
.
Passo 4
Resolvendo o sistema:
a + b b = −a,
2a − 3(−a) a
a
/5,
c a
/5.
Então
a + b
2a − 3(−a)
c
Então
Passo 5
Da relação
segue que
Medindo-se experimentalmente
em função de
(e sabendo
), basta ajustar essa escala para determinar
.
Resposta
a)
b) Como inverte-se a relação para , basta medir
e conhecer
para estimar a energia
.
b) Como inverte-se a relação para