Exercício 6. Filmes finos são amplamente utilizados em diferentes segmentos industriais para proteger embalagens de alimentos, contra corrosão, filtros óticos, dispositivos magnéticos para armazenamento de dados, etc. Uma forma de crescimento destes filmes é através de deposição térmica. Evapora-se, em vácuo, o material desejado, o qual adere num alvo que está posicionado a uma distância conhecida. Suponha que o material evapore à uma taxa constante e isotropicamente distribuída.
a) Encontre uma expressão matemática que relacione a espessura do filme obtido com a massa (M) e densidade ( \rho ) do material evaporado, e a distância entre a fonte e o alvo.
b) Suponha que uma indústria de dispositivos óticos queira crescer um filme de Alumínio com 1 \mu \mathrm{~m} de espessura sobre uma pequena área de um alvo (substrato de vidro) que encontra-se a 30 cm da fonte. Calcule a quantidade de Alumínio necessária.

Passo 1

O enunciado trata do crescimento de um filme fino por evaporação térmica: o material evapora isotropicamente de uma fonte pontual e deposita-se sobre um alvo situado à distância d. O objetivo é relacionar a espessura t do filme com a massa evaporada M, a densidade \rho do material e a distância d. O conteúdo envolvido será conservação de massa e geometria de distribuição sobre a superfície de uma esfera.

Passo 2

Como a evaporação é isotrópica, a massa total M se distribui uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio d, cuja área é 4\pi d^2. Assim, a massa por unidade de área que atinge o alvo é
\frac{M}{4\pi d^2}\,.
Para formar um filme de espessura t, essa massa por área deve equivaler a \rho\,t. Logo,
\rho\,t \;=\;\frac{M}{4\pi d^2}\,.

Passo 3

Isolando t, obtemos a expressão desejada:
t \;=\;\frac{M}{4\pi d^2\,\rho}\,.
Alternativamente, para achar a massa necessária em função de t, basta inverter:
M \;=\;4\pi\,d^2\,\rho\,t\,.

Passo 4

Agora aplicamos os valores numéricos para alumínio: \rho=2700, \mathrm{kg/m^3}, d=0{,}30, \mathrm{m}, t=1{,}0\times10^{-6}, \mathrm{m}.
Logo,
M = 4\pi\,(0{,}30)^2\,(2700)\,(1{,}0\times10^{-6}) =4\pi\cdot0{,}09\cdot2700\cdot10^{-6} \approx3{,}05\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.

Resposta

a) \displaystyle t=\frac{M}{4\pi d^2\,\rho}.
b) A massa de alumínio necessária é aproximadamente 3{,}05\times10^{-3}, \mathrm{kg} (cerca de 3{,}05,g).

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