Questão 11 (IME-03) Considere uma matriz A quadrada de ordem n, de coeficientes reais e k um número real diferente de 1 . Sabendo-se que A^{3}=k A, mostre que A+I_{n} é uma matriz inversível.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz real n\times n tal que
A^{3}=kA,
com k\neq1. Queremos mostrar que A+I_{n} é inversível, ou seja, que \ker(A+I_{n})=\{0\}.

Passo 2

Suponha que exista um vetor não nulo x\in\mathbb{R}^n no núcleo de A+I_{n}, isto é,
(A+I_{n})x=0.
Daí segue
Ax=-x.

Passo 3

Aplicando A em ambos os lados de Ax=-x obtemos
A^2x=-Ax=x,
pois Ax=-x. Em seguida, usamos a hipótese A^3=kA:
A^3x=k\,A x.
O lado esquerdo é
A^3x = A\bigl(A^2x\bigr) = A(x) = -x,
e o lado direito é
k\,Ax = k(-x) = -k\,x.
Logo
-x = -k\,x \quad\Longrightarrow\quad (1-k)\,x = 0.
Como k\neq1, conclui-se que x=0.

Passo 4

Vimos que a única solução de (A+I_{n})x=0 é x=0. Portanto \ker(A+I_{n})=\{0\}, o que implica que A+I_{n} é injetora em um espaço de dimensão finita e, consequentemente, inversível.

Resposta

A matriz A+I_{n} é inversível.

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