Questão 11 - Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória
: número de caras obtidas no experimento. Obtenha:
a) A distribuição de probabilidade.
b) A função de probabilidade.
c) O gráfico da função de probabilidade.
d)
.
e) Interprete o valor
.
f)
.
a) A distribuição de probabilidade.
b) A função de probabilidade.
c) O gráfico da função de probabilidade.
d)
e) Interprete o valor
f)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Dados do enunciado:
- A moeda é viciada com probabilidade de cara igual a
. Vou chamar essa probabilidade de , isto é . - São realizados dois lançamentos consecutivos e independentes da moeda.
- A variável aleatória
é o número de caras (heads) obtidas no experimento de dois lançamentos. Logo pode assumir os valores .
O enunciado pede:
a) A distribuição de probabilidade (ou seja, os valores possíveis de com suas probabilidades).
b) A função de probabilidade (pmf) de numa forma fechada.
c) O gráfico da função de probabilidade.
d) O valor esperado .
e) Interpretação do valor .
f) A variância .
a) A distribuição de probabilidade (ou seja, os valores possíveis de
b) A função de probabilidade (pmf) de
c) O gráfico da função de probabilidade.
d) O valor esperado
e) Interpretação do valor
f) A variância
Passo 2
Primeiro vou listar o espaço amostral dos dois lançamentos e as probabilidades de cada sequência, usando independência dos lançamentos. Chamo “C” = cara (probabilidade
) e “F” = coroa (probabilidade
). As quatro sequências possíveis e suas probabilidades são:
-
(duas caras): probabilidade . -
(cara depois coroa): probabilidade . -
(coroa depois cara): probabilidade . -
(duas coroas): probabilidade .
Substituindo
:
-
. -
. -
. -
.
Passo 3
Agora agrupo essas sequências por valor de
(número de caras).
- Para
: só ocorre com . Então
Calculemos:
.
- Para
: ocorrem as sequências e . Como são disjuntas,
Calculemos:
.
- Para
: só ocorre com . Então
Verificação de soma das probabilidades:
logo está consistente.
Passo 4
Resposta para a letra (a) — distribuição de probabilidade — escrevendo a lista de valores possíveis com suas probabilidades:
-
: . -
: . -
: .
Passo 5
Resposta para a letra (b) — função de probabilidade (pmf) em forma fechada. Aqui
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A pmf geral da binomial é:
Substituindo
e
:
Isso é a função de probabilidade pedida.
Passo 6
Resposta para a letra (c) — gráfico da função de probabilidade. Vou descrever e dar uma “representação em barras” simples (cada barra representa a altura
).
Valores numéricos das alturas (já calculados):
Representação em barras (escala simples):
- \ ; ████████████)
- \ ; █████████████████)
- \ ; █████)
(Em prova, desenhe um gráfico de barras com o eixo horizontal com
e o eixo vertical 0 a 0,5; desenhe uma barra para cada
com as alturas numéricas acima.)
Passo 7
Resposta para a letra (d) — cálculo do valor esperado
.
Método direto (definição):
Calculando:
Atalho para binomial: para
Binomial
vale a fórmula
Aqui
e
, então
, que coincide com o cálculo acima.
Passo 8
Resposta para a letra (e) — interpretação de
.
O valor
significa o número médio (esperado) de caras em dois lançamentos da moeda, se o experimento fosse repetido muitas vezes. Em média, em cada par de lançamentos espera-se obter
caras. Não é preciso que
assuma esse valor em um único experimento (ele só pode ser
ou
);
é uma média sobre muitos experimentos.
Passo 9
Resposta para a letra (f) — variância
.
Fórmula direta para a binomial:
Substituindo
e
:
Verificação via definição alternativa (para didática): primeiro calcule
:
Então
o que confirma o resultado.
Resposta
a)
b)
c) Gráfico de barras com alturas
d)
e) significa que, em média (em muitas repetições do experimento), obtêm-se
caras por dois lançamentos.
f)
b)
c) Gráfico de barras com alturas
d)
e)
f)