Questão 11 - Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória X : número de caras obtidas no experimento. Obtenha:
a) A distribuição de probabilidade.
b) A função de probabilidade.
c) O gráfico da função de probabilidade.
d) E(X).
e) Interprete o valor E(X).
f) \operatorname{Var}(X).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Dados do enunciado:
  • A moeda é viciada com probabilidade de cara igual a 0,4. Vou chamar essa probabilidade de p, isto é p=0,4.
  • São realizados dois lançamentos consecutivos e independentes da moeda.
  • A variável aleatória X é o número de caras (heads) obtidas no experimento de dois lançamentos. Logo X pode assumir os valores 0,1,2.
O enunciado pede:
a) A distribuição de probabilidade (ou seja, os valores possíveis de X com suas probabilidades).
b) A função de probabilidade (pmf) de X numa forma fechada.
c) O gráfico da função de probabilidade.
d) O valor esperado E(X).
e) Interpretação do valor E(X).
f) A variância \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Primeiro vou listar o espaço amostral dos dois lançamentos e as probabilidades de cada sequência, usando independência dos lançamentos. Chamo “C” = cara (probabilidade p=0,4) e “F” = coroa (probabilidade 1-p=0,6). As quatro sequências possíveis e suas probabilidades são:
  • CC (duas caras): probabilidade \,p\cdot p = p^2.
  • CF (cara depois coroa): probabilidade \,p\cdot(1-p).
  • FC (coroa depois cara): probabilidade (1-p)\cdot p.
  • FF (duas coroas): probabilidade (1-p)\cdot(1-p)=(1-p)^2.
Substituindo p=0,4:
  • \Pr(CC)=p^2=(0,4)^2.
  • \Pr(CF)=p(1-p)=0,4\cdot0,6.
  • \Pr(FC)=(1-p)p=0,6\cdot0,4.
  • \Pr(FF)=(1-p)^2=(0,6)^2.

Passo 3

Agora agrupo essas sequências por valor de X (número de caras).
  • Para X=0: só ocorre com FF. Então
\Pr(X=0)=(1-p)^2=(0,6)^2.
Calculemos: (0,6)^2=0,36.
  • Para X=1: ocorrem as sequências CF e FC. Como são disjuntas,
\Pr(X=1)=p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p).
Calculemos: 2\cdot0,4\cdot0,6=2\cdot0,24=0,48.
  • Para X=2: só ocorre com CC. Então
\Pr(X=2)=p^2=(0,4)^2=0,16.
Verificação de soma das probabilidades:
0,36+0,48+0,16=1,00,
logo está consistente.

Passo 4

Resposta para a letra (a) — distribuição de probabilidade — escrevendo a lista de valores possíveis com suas probabilidades:
  • X=0: \Pr(X=0)=0,36.
  • X=1: \Pr(X=1)=0,48.
  • X=2: \Pr(X=2)=0,16.

Passo 5

Resposta para a letra (b) — função de probabilidade (pmf) em forma fechada. Aqui X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=2 e p=0,4. A pmf geral da binomial é:
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{\,n-k}.
Substituindo n=2 e p=0,4:
\Pr(X=k)=\binom{2}{k}(0,4)^k(0,6)^{2-k},\qquad k=0,1,2.
Isso é a função de probabilidade pedida.

Passo 6

Resposta para a letra (c) — gráfico da função de probabilidade. Vou descrever e dar uma “representação em barras” simples (cada barra representa a altura P(X=k)).
Valores numéricos das alturas (já calculados):
  • \Pr(X=0)=0,36
  • \Pr(X=1)=0,48
  • \Pr(X=2)=0,16
Representação em barras (escala simples):
  • k=0:\\ \Pr(X=0)=\(0,36\ ; ████████████)
  • k=1:\\ \Pr(X=1)=\(0,48\ ; █████████████████)
  • k=2:\\ \Pr(X=2)=\(0,16\ ; █████)
(Em prova, desenhe um gráfico de barras com o eixo horizontal com k=0,1,2 e o eixo vertical 0 a 0,5; desenhe uma barra para cada k com as alturas numéricas acima.)

Passo 7

Resposta para a letra (d) — cálculo do valor esperado E(X).
Método direto (definição):
E(X)=\sum_{k=0}^{2} k\Pr(X=k).
Calculando:
E(X)=0\cdot0,36 + 1\cdot0,48 + 2\cdot0,16 = 0 + 0,48 + 0,32 = 0,80.
Atalho para binomial: para X\sim Binomial (n,p) vale a fórmula
E(X)=n p.
Aqui n=2 e p=0,4, então E(X)=2\cdot0,4=0,8, que coincide com o cálculo acima.

Passo 8

Resposta para a letra (e) — interpretação de E(X).
O valor E(X)=0,8 significa o número médio (esperado) de caras em dois lançamentos da moeda, se o experimento fosse repetido muitas vezes. Em média, em cada par de lançamentos espera-se obter 0,8 caras. Não é preciso que X assuma esse valor em um único experimento (ele só pode ser 0,1 ou 2); 0,8 é uma média sobre muitos experimentos.

Passo 9

Resposta para a letra (f) — variância \operatorname{Var}(X).
Fórmula direta para a binomial:
\operatorname{Var}(X)=n p (1-p).
Substituindo n=2 e p=0,4:
\operatorname{Var}(X)=2\cdot0,4\cdot0,6=2\cdot0,24=0,48.
Verificação via definição alternativa (para didática): primeiro calcule E(X^2):
E(X^2)=\sum_{k=0}^{2} k^2\Pr(X=k)=0^2\cdot0,36 + 1^2\cdot0,48 + 2^2\cdot0,16 = 0 + 0,48 + 4\cdot0,16 = 0,48+0,64=1,12.
Então
\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 = 1,12 - (0,8)^2 = 1,12 - 0,64 = 0,48,
o que confirma o resultado.

Resposta

a) \Pr(X=0)=0,36,\\ \Pr(X=1)=0,48,\\ \Pr(X=2)=0,16.
b) \displaystyle \Pr(X=k)=\binom{2}{k}(0,4)^k(0,6)^{2-k},\quad k=0,1,2.
c) Gráfico de barras com alturas \Pr(X=0)=0,36,\\ \Pr(X=1)=0,48,\\ \Pr(X=2)=0,16.
d) E(X)=0,8.
e) E(X)=0,8 significa que, em média (em muitas repetições do experimento), obtêm-se 0,8 caras por dois lançamentos.
f) \operatorname{Var}(X)=0,48.

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