Questão 8 - Suponha que 80 \% de um lote de vacinas para Febre Aftosa estejam vencidas. Se uma amostra de 1000 vacinas for examinada.
a) Qual é o valor esperado de Y , número de vacinas vencidas dessa amostra de 1000 .
R: 800
b) Qual o desvio padrão de Y: R: 12,65

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (peguei estes números do enunciado):
  • A proporção de vacinas vencidas no lote é 80\%. Ou seja, a probabilidade de uma vacina escolhida aleatoriamente estar vencida é p=0{,}80.
  • O tamanho da amostra é n=1000.
  • A variável de interesse é Y: número de vacinas vencidas na amostra de 1000.
O que é pedido:
a) Calcular o valor esperado de Y (ou seja, E[Y]).
b) Calcular o desvio padrão de Y (ou seja, \sigma_Y ou \sqrt{\operatorname{Var}(Y)}).

Passo 2

Qual modelo probabilístico usar e por quê (explicação didática):
  • Cada vacina examinada tem apenas dois resultados relevantes: vencida (sucesso, digamos) ou não vencida (falha).
  • A amostra tem um número fixo de ensaios n=1000.
  • Supondo que cada vacina seja escolhida de forma independente e que a probabilidade de estar vencida seja constante p=0{,}80 para cada vacina, então cada exame é uma variável de Bernoulli com parâmetro p.
  • A soma de n variáveis de Bernoulli independentes com mesma p é uma variável Binomial. Logo Y segue a distribuição Binomial com parâmetros n e p: Y\sim\mathrm{Bin}(n,p).
Essas são as quatro condições clássicas para usar o modelo binomial: número fixo de ensaios, apenas dois resultados por ensaio, independência e probabilidade constante.

Passo 3

Fórmulas importantes e interpretação do valor esperado (aula curta):
  • Para uma variável binomial Y\sim\mathrm{Bin}(n,p) vale a fórmula do valor esperado:
E[Y]=n p.
Explicando essa fórmula: cada ensaio Bernoulli tem esperança p. Se somarmos n ensaios independentes, pela linearidade da esperança a soma tem esperança n vezes a esperança de um ensaio, ou seja n p. Em palavras: em média espera-se que np dos n ensaios resultem em “sucesso” (aqui, vacinas vencidas).

Passo 4

Cálculo do valor esperado usando os números do enunciado:
E[Y]=n p = 1000 \times 0{,}80 = 800.
Interpretação rápida: em média, espera-se encontrar 800 vacinas vencidas na amostra de 1000.

Passo 5

Fórmula da variância e do desvio padrão (aula curta):
  • Para uma variável binomial Y\sim\mathrm{Bin}(n,p) vale:
\operatorname{Var}(Y)=n p (1-p).
Motivo: a variância de uma Bernoulli é p(1-p); somando n variâncias de ensaios independentes obtemos n p(1-p).
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_Y=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}=\sqrt{n p (1-p)}.

Passo 6

Cálculo da variância com os números dados:
\operatorname{Var}(Y)=1000\times 0{,}80\times(1-0{,}80)=1000\times 0{,}80\times 0{,}20=160.

Passo 7

Cálculo do desvio padrão e aproximação manual (passo a passo para fazer na prova sem calculadora):
\sigma_Y=\sqrt{160}.
Para simplificar a raiz, fatoramos 160=16\times 10, então
\sqrt{160}=\sqrt{16}\,\sqrt{10}=4\sqrt{10}.
Agora precisamos de \sqrt{10}. Sabendo que 3{,}1^2=9{,}61 e 3{,}2^2=10{,}24, \sqrt{10} está entre 3{,}1 e 3{,}2 e mais perto de 3{,}16. Um valor conhecido é \sqrt{10}\approx 3{,}16227766. Então
\sigma_Y=4\times 3{,}16227766\approx 12{,}6491106\ldots
Arredondando para duas casas decimais (convencional em estatística):
\sigma_Y\approx 12{,}65.

Passo 8

Interpretação final e comentário de incentivo:
  • Espera-se, em média, 800 vacinas vencidas na amostra de 1000.
  • A variação típica em torno desse valor é de cerca de 12{,}65 vacinas; ou seja, um desvio padrão de 12{,}65 indica que, em amostras repetidas, o número observado de vacinas vencidas costuma oscilar algumas dezenas para cima ou para baixo desse 800.
    Boa! Você já sabe aplicar o modelo binomial e calcular esperança e desvio padrão — isso cai muito em provas.

Resposta

a) 800\n
b) 12{,}65

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