Questão 8 - Suponha que
de um lote de vacinas para Febre Aftosa estejam vencidas. Se uma amostra de 1000 vacinas for examinada.
a) Qual é o valor esperado de Y , número de vacinas vencidas dessa amostra de 1000 .
R: 800
b) Qual o desvio padrão de Y: R: 12,65
a) Qual é o valor esperado de Y , número de vacinas vencidas dessa amostra de 1000 .
b) Qual o desvio padrão de Y: R: 12,65
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (peguei estes números do enunciado):
- A proporção de vacinas vencidas no lote é
. Ou seja, a probabilidade de uma vacina escolhida aleatoriamente estar vencida é . - O tamanho da amostra é
. - A variável de interesse é
: número de vacinas vencidas na amostra de .
O que é pedido:
a) Calcular o valor esperado de (ou seja,
).
b) Calcular o desvio padrão de (ou seja,
ou
).
a) Calcular o valor esperado de
b) Calcular o desvio padrão de
Passo 2
Qual modelo probabilístico usar e por quê (explicação didática):
- Cada vacina examinada tem apenas dois resultados relevantes: vencida (sucesso, digamos) ou não vencida (falha).
- A amostra tem um número fixo de ensaios
. - Supondo que cada vacina seja escolhida de forma independente e que a probabilidade de estar vencida seja constante
para cada vacina, então cada exame é uma variável de Bernoulli com parâmetro . - A soma de
variáveis de Bernoulli independentes com mesma é uma variável Binomial. Logo segue a distribuição Binomial com parâmetros e : .
Essas são as quatro condições clássicas para usar o modelo binomial: número fixo de ensaios, apenas dois resultados por ensaio, independência e probabilidade constante.
Passo 3
Fórmulas importantes e interpretação do valor esperado (aula curta):
- Para uma variável binomial
vale a fórmula do valor esperado:
Explicando essa fórmula: cada ensaio Bernoulli tem esperança
. Se somarmos
ensaios independentes, pela linearidade da esperança a soma tem esperança
vezes a esperança de um ensaio, ou seja
. Em palavras: em média espera-se que
dos
ensaios resultem em “sucesso” (aqui, vacinas vencidas).
Passo 4
Cálculo do valor esperado usando os números do enunciado:
Interpretação rápida: em média, espera-se encontrar
vacinas vencidas na amostra de
.
Passo 5
Fórmula da variância e do desvio padrão (aula curta):
- Para uma variável binomial
vale:
Motivo: a variância de uma Bernoulli é
; somando
variâncias de ensaios independentes obtemos
.
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 6
Cálculo da variância com os números dados:
Passo 7
Cálculo do desvio padrão e aproximação manual (passo a passo para fazer na prova sem calculadora):
Para simplificar a raiz, fatoramos
, então
Agora precisamos de
. Sabendo que
e
,
está entre
e
e mais perto de
. Um valor conhecido é
. Então
Arredondando para duas casas decimais (convencional em estatística):
Passo 8
Interpretação final e comentário de incentivo:
- Espera-se, em média,
vacinas vencidas na amostra de . - A variação típica em torno desse valor é de cerca de
vacinas; ou seja, um desvio padrão de indica que, em amostras repetidas, o número observado de vacinas vencidas costuma oscilar algumas dezenas para cima ou para baixo desse .
Boa! Você já sabe aplicar o modelo binomial e calcular esperança e desvio padrão — isso cai muito em provas.
Resposta
a)
\n
b)
b)