Questão 11 - Uma partícula está confinada numa região bidimensional definida por
e
e move-se livremente através desta região (a) Encontre as funções de onda que se ajustem a essas condições e são soluções da equação de Schroedinger. (b) Encontre as energias que correspondem as funções de onda já obtidas. (c) Encontre os números quânticos dos dois estados mais baixos que tem a mesma energia (isto é que são degenerados). Discuta esse resultado. Sugestão: leiam a seção 35.5 do livro “Física para cientistas e engenheiros” volume 3, de Paul Tipler (sexta edição, LTC, 2009) .
Passo 1
O enunciado pede para resolver a partícula livre num poço infinito quadrado bidimensional
,
. O conteúdo é a equação de Schr"odinger estacionária em
D com condições de contorno de poço infinito. Vamos usar separação de variáveis e as soluções conhecidas do poço infinito em
D.
Passo 2
Escrevemos a equação de Schr"odinger estacionária livre em
D:
com
em
e
. Assumimos
e separamos:
Cada termo depende só de uma variável, logo igualamos a constantes de separação.
Passo 3
Para
obtemos
com
. As soluções não-triviais são
Analogamente para
:
Passo 4
A função de onda total normalizada é produto de
e
. Escolhendo
garante normalização em
D:
com
.
Passo 5
A energia total é soma das parcelas quantizadas:
Passo 6
Procuramos dois estados diferentes com o mesmo valor de
. O menor valor é
dando
(não degenerado). O próximo é
, obtido por
e
. Essas duas funções têm a mesma energia e mostram degenerescência devido à simetria do poço em
e
.
Resposta
(a) As funções de onda são
(b) As energias quantizadas são
(c) Os dois estados mais baixos degenerados são
e
, pois ambos têm
. A degenerescência surge da simetria do potencial em
e
.