Questão 11 - Uma partícula está confinada numa região bidimensional definida por 0 \leq x \leq L e 0 \leq y \leq L \quad e move-se livremente através desta região (a) Encontre as funções de onda que se ajustem a essas condições e são soluções da equação de Schroedinger. (b) Encontre as energias que correspondem as funções de onda já obtidas. (c) Encontre os números quânticos dos dois estados mais baixos que tem a mesma energia (isto é que são degenerados). Discuta esse resultado. Sugestão: leiam a seção 35.5 do livro “Física para cientistas e engenheiros” volume 3, de Paul Tipler (sexta edição, LTC, 2009) .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a partícula livre num poço infinito quadrado bidimensional 0\le x\le L, 0\le y\le L. O conteúdo é a equação de Schr"odinger estacionária em 2D com condições de contorno de poço infinito. Vamos usar separação de variáveis e as soluções conhecidas do poço infinito em 1D.

Passo 2

Escrevemos a equação de Schr"odinger estacionária livre em 2D:
-\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\Bigr)\psi(x,y) =E\,\psi(x,y),
com \psi=0 em x=0,L e y=0,L. Assumimos \psi(x,y)=X(x)\,Y(y) e separamos:
-\frac{\hbar^2}{2mX}\frac{d^2X}{dx^2} -\frac{\hbar^2}{2mY}\frac{d^2Y}{dy^2}=E.
Cada termo depende só de uma variável, logo igualamos a constantes de separação.

Passo 3

Para X(x) obtemos
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2X}{dx^2}=E_x\,X,
com X(0)=X(L)=0. As soluções não-triviais são
X_{n_x}(x)=A_x\sin\!\bigl(\tfrac{n_x\pi x}{L}\bigr), \quad E_x=\frac{\hbar^2\pi^2n_x^2}{2mL^2}, \quad n_x=1,2,\dots
Analogamente para Y(y):
Y_{n_y}(y)=A_y\sin\!\bigl(\tfrac{n_y\pi y}{L}\bigr), \quad E_y=\frac{\hbar^2\pi^2n_y^2}{2mL^2}, \quad n_y=1,2,\dots

Passo 4

A função de onda total normalizada é produto de X e Y. Escolhendo A_x=A_y=\sqrt{2/L} garante normalização em 2D:
\psi_{n_x,n_y}(x,y) =\frac{2}{L} \sin\!\Bigl(\frac{n_x\pi x}{L}\Bigr) \sin\!\Bigl(\frac{n_y\pi y}{L}\Bigr),
com n_x,n_y=1,2,\dots.

Passo 5

A energia total é soma das parcelas quantizadas:
E_{n_x,n_y} =E_x+E_y =\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\bigl(n_x^2+n_y^2\bigr).

Passo 6

Procuramos dois estados diferentes com o mesmo valor de n_x^2+n_y^2. O menor valor é n_x=n_y=1 dando n_x^2+n_y^2=2 (não degenerado). O próximo é n_x^2+n_y^2=5, obtido por (n_x,n_y)=(1,2) e (2,1). Essas duas funções têm a mesma energia e mostram degenerescência devido à simetria do poço em x e y.

Resposta

(a) As funções de onda são
\psi_{n_x,n_y}(x,y) =\frac{2}{L} \sin\!\Bigl(\frac{n_x\pi x}{L}\Bigr) \sin\!\Bigl(\frac{n_y\pi y}{L}\Bigr), \quad n_x,n_y=1,2,\dots
(b) As energias quantizadas são
E_{n_x,n_y} =\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\bigl(n_x^2+n_y^2\bigr).
(c) Os dois estados mais baixos degenerados são (n_x,n_y)=(1,2) e (2,1), pois ambos têm n_x^2+n_y^2=5. A degenerescência surge da simetria do potencial em x e y.

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