Questão 7 - Vamos considerar uma partícula quântica em uma dimensão, de massa m, viajando livremente, ou seja, sem estar sob a ação de um potencial. (a) Mostre que a integral de Fourier da onda plana para a partícula livre (onda piloto de De Broglie):
\psi(x, t)=\int C(k) e^{i(k x-\omega t)} d k
é solução da equação de Schroedinger (dependente do tempo), onde C é uma amplitude (em função de k) e p=\hbar k ; E=\hbar \omega \quad (b) Esse sistema tem energias quantizadas ou seu espectro é contínuo? Discuta. (c) Considere agora uma partícula quântica de massa m presa numa “caixa de potencial” unidimensional ( 0<\mathrm{x}<\mathrm{L} ). Mostre que:
\psi(x)=A \operatorname{sen}(n \pi x / L)
é solução da equação de Schroedinger (independente do tempo), onde n é um número inteiro, L é a largura da “caixa” e A uma constante de normalização. (d) Obtenha a(s) expressão(ões) para a número de onda, energia e constante de normalização. Discuta seus resultados. Sugestão: leia o capítulo 7 das notas de aula.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula quântica unidimensional de massa m, primeiro livre (sem potencial) e depois confinada numa “caixa infinita” de 0<x<L. Para a parte (a) precisamos usar a forma integral de uma superposição de ondas planas
\psi(x,t)=\int C(k)\,e^{i(kx-\omega t)}\,dk
e mostrar que ela satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2},
sabendo que E=\hbar\omega e p=\hbar k. Nas partes seguintes vamos discutir espectro de energias e resolver a equação independente do tempo para a caixa infinita.

Passo 2

Começamos aplicando o operador temporal em \psi. Como podemos trocar derivada e integral,
\frac{\partial\psi}{\partial t} =\int C(k)\,\frac{\partial}{\partial t}e^{i(kx-\omega t)}\,dk =\int C(k)\,(-i\omega)\,e^{i(kx-\omega t)}\,dk.
Multiplicando por i\hbar obtém-se
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\int C(k)\,\hbar\omega\,e^{i(kx-\omega t)}\,dk.
Agora aplicamos a derivada espacial duas vezes:
\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} =\int C(k)\,(i k)^2\,e^{i(kx-\omega t)}\,dk =-\int C(k)\,k^2\,e^{i(kx-\omega t)}\,dk.
Multiplicando por -\hbar^2/(2m)
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} =\int C(k)\,\frac{\hbar^2k^2}{2m}\,e^{i(kx-\omega t)}\,dk.
Como para a partícula livre E=\hbar\omega=\frac{\hbar^2k^2}{2m}, os dois lados batem, logo \psi(x,t) satisfaz a equação de Schrödinger.

Passo 3

Para a partícula livre o parâmetro k varia continuamente em \mathbb{R}, portanto a energia
E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}
também é um contínuo a partir de 0. Logo não há quantização de energia: o espectro é contínuo.

Passo 4

Agora para a caixa infinita em 0<x<L resolvemos a equação independente do tempo
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi,
com condições de contorno \psi(0)=\psi(L)=0. Definindo k^2=2mE/\hbar^2, obtemos a ODE
\frac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi=0,
cuja solução geral é \psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx). A condição \psi(0)=0 implica B=0. A condição \psi(L)=0 exige \sin(kL)=0, ou seja
kL=n\pi,\quad n=1,2,3,\dots
e daí \psi(x)=A\sin(n\pi x/L).

Passo 5

A partir de k_n=n\pi/L segue a energia quantizada
E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m} =\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2mL^2}.
Para achar A normalizamos \int_0^L|\psi|^2dx=1:
|A|^2\int_0^L\sin^2\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx =|A|^2\frac{L}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\sqrt{\frac{2}{L}}.
Assim o espectro da caixa é discreto e cresce como n^2.

Resposta

(a) A integral
\psi(x,t)=\int C(k)\,e^{i(kx-\omega t)}\,dk
satisfaz
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2},
pois \omega=\hbar k^2/(2m).
(b) A energia de uma partícula livre varia continuamente com k, logo o espectro é contínuo.
(c) Na caixa infinita a solução independente do tempo é
\psi_n(x)=A\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr),
com n\in\mathbb{N}.
(d) Os valores permitidos são
k_n=\frac{n\pi}{L}, \quad E_n=\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2mL^2}, \quad A=\sqrt{\frac{2}{L}}.
O espectro é discreto e não degenerado, crescendo como n^2.

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