Questão 7 - Vamos considerar uma partícula quântica em uma dimensão, de massa
, viajando livremente, ou seja, sem estar sob a ação de um potencial. (a) Mostre que a integral de Fourier da onda plana para a partícula livre (onda piloto de De Broglie):
é solução da equação de Schroedinger (dependente do tempo), onde C é uma amplitude (em função de k) e
(b) Esse sistema tem energias quantizadas ou seu espectro é contínuo? Discuta. (c) Considere agora uma partícula quântica de massa
presa numa “caixa de potencial” unidimensional (
). Mostre que:
é solução da equação de Schroedinger (independente do tempo), onde
é um número inteiro, L é a largura da “caixa” e
uma constante de normalização. (d) Obtenha a(s) expressão(ões) para a número de onda, energia e constante de normalização. Discuta seus resultados. Sugestão: leia o capítulo 7 das notas de aula.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula quântica unidimensional de massa
, primeiro livre (sem potencial) e depois confinada numa “caixa infinita” de
. Para a parte (a) precisamos usar a forma integral de uma superposição de ondas planas
e mostrar que ela satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo
sabendo que
e
. Nas partes seguintes vamos discutir espectro de energias e resolver a equação independente do tempo para a caixa infinita.
Passo 2
Começamos aplicando o operador temporal em
. Como podemos trocar derivada e integral,
Multiplicando por
obtém-se
Agora aplicamos a derivada espacial duas vezes:
Multiplicando por
dá
Como para a partícula livre
, os dois lados batem, logo
satisfaz a equação de Schrödinger.
Passo 3
Para a partícula livre o parâmetro
varia continuamente em
, portanto a energia
também é um contínuo a partir de
. Logo não há quantização de energia: o espectro é contínuo.
Passo 4
Agora para a caixa infinita em
resolvemos a equação independente do tempo
com condições de contorno
. Definindo
, obtemos a ODE
cuja solução geral é
. A condição
implica
. A condição
exige
, ou seja
e daí
.
Passo 5
A partir de
segue a energia quantizada
Para achar
normalizamos
:
Assim o espectro da caixa é discreto e cresce como
.
Resposta
(a) A integral
satisfaz
pois
.
(b) A energia de uma partícula livre varia continuamente com
, logo o espectro é contínuo.
(c) Na caixa infinita a solução independente do tempo é
com
.
(d) Os valores permitidos são
O espectro é discreto e não degenerado, crescendo como
.