Questão 9 - (a) Mostre que a função de onda de duas partículas
, para
e
é uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo para duas partículas. (b) Caso o potencial seja nulo, encontre a energia do estado representado por esta onda. Sugestão: leiam a seção 35.5 do livro “Física para cientistas e engenheiros” volume 3, de Paul Tipler (sexta edição, LTC, 2009).
Passo 1
O enunciado dá a função de onda de duas partículas
definida em
,
, e pede:
a) mostrar que satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo com potencial nulo;
b) encontrar a energia própria .
Vamos usar que, para duas partículas livres, o Hamiltoniano é
a) mostrar que
b) encontrar a energia própria
Vamos usar que, para duas partículas livres, o Hamiltoniano é
Passo 2
Calculamos as derivadas segundas de
em relação a
e a
. Primeiro, como
segue que
Passo 3
Analogamente, para
temos
e, portanto,
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas e aplicando o Hamiltoniano,
logo
Isto mostra que
é autofunção de
com autovalor