Questão 9 - (a) Mostre que a função de onda de duas partículas \psi_{12}=A \operatorname{sen}\left(\pi x_{1} / L\right) \operatorname{sen}\left(2 \pi x_{2} / L\right), para 0<x_{1}<L e 0<x_{2}<L é uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo para duas partículas. (b) Caso o potencial seja nulo, encontre a energia do estado representado por esta onda. Sugestão: leiam a seção 35.5 do livro “Física para cientistas e engenheiros” volume 3, de Paul Tipler (sexta edição, LTC, 2009).

Passo 1

O enunciado dá a função de onda de duas partículas
\psi_{12}(x_{1},x_{2}) = A\,\sin\!\left(\frac{\pi x_{1}}{L}\right)\,\sin\!\left(\frac{2\pi x_{2}}{L}\right)
definida em 0 < x_{1} < L, 0 < x_{2} < L, e pede:
a) mostrar que \psi_{12} satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo com potencial nulo;
b) encontrar a energia própria E.
Vamos usar que, para duas partículas livres, o Hamiltoniano é
H = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}\right)\,.

Passo 2

Calculamos as derivadas segundas de \psi_{12} em relação a x_{1} e a x_{2}. Primeiro, como
\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x_{1}}{L}\bigr) = -\Bigl(\tfrac{\pi}{L}\Bigr)^{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x_{1}}{L}\bigr)\,,
segue que
\frac{\partial^{2}\psi_{12}}{\partial x_{1}^{2}} = -\Bigl(\tfrac{\pi}{L}\Bigr)^{2}\,\psi_{12}\,.

Passo 3

Analogamente, para x_{2} temos
\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x_{2}}{L}\bigr) = -\Bigl(\tfrac{2\pi}{L}\Bigr)^{2}\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi x_{2}}{L}\bigr)
e, portanto,
\frac{\partial^{2}\psi_{12}}{\partial x_{2}^{2}} = -\Bigl(\tfrac{2\pi}{L}\Bigr)^{2}\,\psi_{12} = -\frac{4\pi^{2}}{L^{2}}\,\psi_{12}\,.

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas e aplicando o Hamiltoniano,
\Bigl(\partial_{1}^{2}+\partial_{2}^{2}\Bigr)\psi_{12} = -\frac{\pi^{2}+4\pi^{2}}{L^{2}}\,\psi_{12} = -\frac{5\pi^{2}}{L^{2}}\,\psi_{12},
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H\,\psi_{12} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\Bigl(-\frac{5\pi^{2}}{L^{2}}\Bigr)\psi_{12} = \frac{5\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}\,\psi_{12}.
Isto mostra que \psi_{12} é autofunção de H com autovalor
E = \frac{5\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}.

Resposta

E = \frac{5\hbar^{2}\pi^{2}}{2mL^{2}}.

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