Questão 11: As placas de um capacitor, de placas paralelas de área S separadas por uma distância d, submetem-se a uma diferença de potencial V0. Insere-se uma barra dielétrica de constante dielétrica kappa e espessura b. Se S=100 cm^2, d=1 cm, b=0,50 cm, kappa=7 e V0=100 V, calcule: (a) a capacitância antes da introdução do dielétrico; (b) as cargas livres; (c) o campo elétrico sem o dielétrico; (d) o campo elétrico no interior do dielétrico; (e) as cargas induzidas; (f) a diferença de potencial com o dielétrico; (g) a capacitância com o dielétrico; (h) a polarização elétrica.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas de área S e separação d, submetido a uma diferença de potencial V0. Em seguida é inserida uma barra dielétrica de constante kappa e espessura b ocupando parte do espaço entre as placas. Para resolver precisamos conhecer:
– A fórmula da capacitância de um capacitor de placas paralelas em vácuo,
– A relação Q=C,V para carga livre,
– A distribuição do campo elétrico em uma região composta por duas camadas em série (vácuo + dielétrico),
– A definição de carga ligada na superfície do dielétrico e de polarização P.

Passo 2

Calcular a capacitância antes do dielétrico usando
C0 = varepsilon0,Sd
Como S=100 cm^2=1,0times10^-2 m^2, d=1 cm=1,0times10^-2 m e varepsilon0=8,85times10^-12 F/m,
C0 = 8,85times10^-12times1,0times10^-21,0times10^-2 =8,85times10^-12 F

Passo 3

A carga livre nas placas, mantendo V0=100 V, é
Q = C0,V0 =8,85times10^-12times100 =8,85times10^-10 C

Passo 4

O campo elétrico no vácuo sem o dielétrico vale
E0 = V0d =1001,0times10^-2 =1,00times10^4 V/m

Passo 5

Com o dielétrico inserido (espessura b=0,50 cm=5,0times10^-3 m), mantemos a mesma carga livre Q. A densidade de carga livre é
sigma=QS =8,85times10^-101,0times10^-2 =8,85times10^-8 C/m^2
Então o campo na região sem dielétrico (espessura d-b) é
E1=sigmavarepsilon0 =1,00times10^4 V/m,
e no interior do dielétrico
E2=sigmavarepsilon0,kappa =8,85times10^-88,85times10^-12times7 =1,43times10^3 V/m

Passo 6

A carga ligada na superfície do dielétrico (por unidade de área) é
sigmab =varepsilon0(kappa-1),E2 =sigma,kappa-1kappa
então a carga total induzida é
Qb =sigmab,S =8,85times10^-8times67times1,0times10^-2 =7,59times10^-10 C

Passo 7

A nova diferença de potencial entre as placas é a soma das quedas em cada região:
V = E1,(d-b)+E2,b =1,00times10^4times5,0times10^-3 +1,43times10^3times5,0times10^-3 =50 +7,14 =57,14 V

Passo 8

A capacitância com o dielétrico é
C = QV =8,85times10^-1057,14 =1,55times10^-11 F

Passo 9

A polarização elétrica no dielétrico é
P = varepsilon0(kappa-1),E2 =8,85times10^-12times6times1,43times10^3 =7,59times10^-8 C/m^2

Resposta

(a) C0 = 8,85 times 10^-12 F\n(b) Q = 8,85 times 10^-10 C\n(c) E0 = 1,00 times 10^4 V/m\n(d) E2 = 1,43 times 10^3 V/m\n(e) Qb = 7,59 times 10^-10 C\n(f) V = 57,14 V\n(g) C = 1,55 times 10^-11 F\n(h) P = 7,59 times 10^-8 C/m^2

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