Questão 13 (0.5 ponto)

Para a função f(x)=x^{3}-12 x+\pi, identifique os pontos críticos e classifique-os usando os testes da primeira e segunda derivadas.
(a) A
(b) B
(c)
C (d)
D (e) E
Onde:
A. Pontos críticos: x=-2 (máximo local) e x=2 (mínimo local)
B. Pontos críticos: x=-2 (mínimo local) e x=2 (máximo local)
C. Pontos críticos: x=0 (máximo local) e x=4 (mínimo local)
D. Pontos críticos: x=0 (mínimo local) e x=4 (máximo local)
E. Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-12x+\pi e pede duas coisas: identificar os pontos críticos e classificá‑los (máximo local ou mínimo local) usando os testes da primeira e da segunda derivadas.
Informações relevantes fornecidas: a própria função f(x)=x^{3}-12x+\pi. Não há restrição de domínio além do natural para polinômios (domínio é todo \mathbb{R}). A tarefa é achar pontos onde f'(x)=0 ou f' não existe (pontos críticos) e determinar se cada ponto é máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.

Passo 2

O que é ponto crítico e como achar: um ponto x é crítico se \,f'(x)=0 ou se \,f'(x) não estiver definida. Aqui f é um polinômio, então f' existe para todo x; portanto só precisamos resolver \,f'(x)=0.
Calculemos f'(x) passo a passo: a derivada de x^{3} é 3x^{2}; a derivada de -12x é -12; a derivada de \pi (constante) é 0. Logo,
f'(x)=3x^{2}-12.
Fatorando,
f'(x)=3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2).
Agora resolvemos \,f'(x)=0:
3(x-2)(x+2)=0 \;\Longrightarrow\; x=2 \quad\text{ou}\quad x=-2.
Assim, os pontos críticos são x=-2 e x=2. (Nenhuma outra solução, e f' está definida em todo \mathbb{R}.)

Passo 3

Teste da primeira derivada (intuição e procedimento): a primeira derivada indica crescimento/decrescimento. Se f'(x)>0 em um intervalo, f cresce lá; se f'(x)<0, f decresce. Num ponto crítico, se f' muda de positivo para negativo ao atravessar o ponto, temos um máximo local; se muda de negativo para positivo, temos um mínimo local.
Façamos a análise de sinais de f'(x)=3(x-2)(x+2). Os pontos que trocam o sinal são -2 e 2. Escolhemos pontos de teste em cada intervalo:
  • Para x<-2, tome x=-3:
    f'(-3)=3((-3)^{2}-4)=3(9-4)=3\cdot 5=15>0.
    Então f' é positivo em (-\infty,-2).
  • Para -2<x<2, tome x=0:
    f'(0)=3(0^{2}-4)=3(-4)=-12<0.
    Então f' é negativo em (-2,2).
  • Para x>2, tome x=3:
    f'(3)=3(9-4)=15>0.
    Então f' é positivo em (2,\infty).
Concluindo pelo teste da primeira derivada:
  • Em x=-2 a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita) ⇒ x=-2 é um máximo local.
  • Em x=2 a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) ⇒ x=2 é um mínimo local.

Passo 4

Teste da segunda derivada (intuição e procedimento): a segunda derivada f''(x) dá a concavidade. Se num ponto crítico f''(x)<0, a função é côncava para baixo ali e o ponto é máximo local; se f''(x)>0, é côncava para cima e o ponto é mínimo local. Se f''(x)=0, o teste é inconclusivo.
Calculemos f''(x) a partir de f'(x)=3x^{2}-12:
f''(x)=6x.
Avaliando nos pontos críticos:
  • Em x=-2:
    f''(-2)=6(-2)=-12<0,
    portanto concavidade para baixo ⇒ máximo local em x=-2.
  • Em x=2:
    f''(2)=6\cdot 2=12>0,
    portanto concavidade para cima ⇒ mínimo local em x=2.
Os resultados do teste da segunda derivada confirmam os do primeiro teste.

Passo 5

Resumo claro e final (para usar na prova): os pontos críticos são x=-2 e x=2. Pelo teste da primeira derivada (análise de sinais) e pelo teste da segunda derivada (sinal de f''), x=-2 é ponto de máximo local e x=2 é ponto de mínimo local. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa A.

Resposta

A.

Exercícios relacionados