Questão 13 (0.5 ponto)
Para a função
, identifique os pontos críticos e classifique-os usando os testes da primeira e segunda derivadas.
(a) A
(b) B
(c)
C (d)
D (e) E
Onde:
A. Pontos críticos:
(máximo local) e
(mínimo local)
B. Pontos críticos:
(mínimo local) e
(máximo local)
C. Pontos críticos:
(máximo local) e
(mínimo local)
D. Pontos críticos:
(mínimo local) e
(máximo local)
E. Nenhuma das anteriores
(a) A
(b) B
(c)
C (d)
D (e) E
A. Pontos críticos:
B. Pontos críticos:
C. Pontos críticos:
D. Pontos críticos:
E. Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: identificar os pontos críticos e classificá‑los (máximo local ou mínimo local) usando os testes da primeira e da segunda derivadas.
Informações relevantes fornecidas: a própria função . Não há restrição de domínio além do natural para polinômios (domínio é todo
). A tarefa é achar pontos onde
ou
não existe (pontos críticos) e determinar se cada ponto é máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.
Informações relevantes fornecidas: a própria função
Passo 2
O que é ponto crítico e como achar: um ponto
é crítico se
ou se
não estiver definida. Aqui
é um polinômio, então
existe para todo
; portanto só precisamos resolver
.
Calculemos
passo a passo: a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de
(constante) é
. Logo,
Fatorando,
Agora resolvemos
:
Assim, os pontos críticos são
e
. (Nenhuma outra solução, e
está definida em todo
.)
Passo 3
Teste da primeira derivada (intuição e procedimento): a primeira derivada indica crescimento/decrescimento. Se
em um intervalo,
cresce lá; se
,
decresce. Num ponto crítico, se
muda de positivo para negativo ao atravessar o ponto, temos um máximo local; se muda de negativo para positivo, temos um mínimo local.
Façamos a análise de sinais de
. Os pontos que trocam o sinal são
e
. Escolhemos pontos de teste em cada intervalo:
-
Para
, tome : Entãoé positivo em . -
Para
, tome : Entãoé negativo em . -
Para
, tome : Entãoé positivo em .
Concluindo pelo teste da primeira derivada:
- Em
a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita) ⇒ é um máximo local. - Em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) ⇒ é um mínimo local.
Passo 4
Teste da segunda derivada (intuição e procedimento): a segunda derivada
dá a concavidade. Se num ponto crítico
, a função é côncava para baixo ali e o ponto é máximo local; se
, é côncava para cima e o ponto é mínimo local. Se
, o teste é inconclusivo.
Calculemos
a partir de
:
Avaliando nos pontos críticos:
-
Em
: portanto concavidade para baixo ⇒ máximo local em. -
Em
: portanto concavidade para cima ⇒ mínimo local em.
Os resultados do teste da segunda derivada confirmam os do primeiro teste.
Passo 5
Resumo claro e final (para usar na prova): os pontos críticos são
e
. Pelo teste da primeira derivada (análise de sinais) e pelo teste da segunda derivada (sinal de
),
é ponto de máximo local e
é ponto de mínimo local. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa A.
Resposta
A.