Questão 2: (11 pontos) Considere a seguinte família de sistemas lineares nas incógnitas x, y e z em função de dois parâmetros reais a e b :
l x+2 y-3 z=4 3 x-y+5 z=b 4 x+y+a z=0
Determine todos os valores de a e b para os quais os sistemas correspondentes:
(a) não tem solução;
(b) têm uma única solução;
(c) têm infinitas soluções. Neste caso, encontre a solução geral do sistema correspondente.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x+2y-3z=4, 3x-y+5z=b, 4x+y+az=0,
com incógnitas x,y,z e parâmetros reais a,b. Vamos usar determinantes e teoria de sistemas lineares (posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada) para classificar os valores de a,b que geram ausência de solução, solução única ou infinitas soluções.

Passo 2

Monte a matriz de coeficientes
A= 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a
e calcule det A por cofactores da primeira linha:
det A =1cdot-1&51&a -2cdot3&54&a -3cdot3&-14&1
Fazendo as contas:
det A =( -a-5 )-2(3a-20)-3(3+4) =-7a+14 =7(2-a)

Passo 3

Como det Aneq0 se e só se aneq2, para aneq2 o sistema tem posto máximo e, portanto, solução única para todo b.

Passo 4

Quando a=2, temos det A=0 e então o posto de A cai para 2. Há dois subcasos: consistência (posto da matriz aumentada igual a 2) ou inconsistência (posto da aumentada passa a 3). Para ver isso, observe que, se a=2, a terceira equação
4x+y+2z=0
deve ser combinação linear das duas primeiras
x+2y-3z=4,3x-y+5z=b
Procuramos alpha,beta tais que
alpha,(x+2y-3z)+beta,(3x-y+5z) equiv4x+y+2z
O sistema para alpha,beta em cada coeficiente dá alpha=1, beta=1. Então a combinação produz o lado esquerdo correto, mas o lado direito fica
4alpha + bbeta = 4+b
Para que isso valha a terceira equação (que tem lado direito 0), é preciso
4+b=0 Longrightarrow b=-4

Passo 5

Logo, quando a=2:
  • Se bneq-4, o posto da matriz aumentada é 3 (maior que o posto de A =2) e o sistema não tem solução.
  • Se b=-4, a terceira equação fica dependente das duas primeiras e o posto permanece 2, gerando infinitas soluções.

Passo 6

No caso
multiplique a primeira por :
Então
Logo a solução geral é

Resposta

(a) Não tem solução se, e somente se,
a=2e bneq-4
(b) Tem única solução se, e somente se,
aneq2(qualquer b)
(c) Tem infinitas soluções se, e somente se,
a=2e b=-4,
com solução geral
(x,y,z)=l(-t-tfrac47,;2t+tfrac167,;tr), tinR

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