Questão 2: (11 pontos) Considere a seguinte família de sistemas lineares nas incógnitas e em função de dois parâmetros reais e :
Determine todos os valores de a e b para os quais os sistemas correspondentes:
(a) não tem solução;
(b) têm uma única solução;
(c) têm infinitas soluções. Neste caso, encontre a solução geral do sistema correspondente.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
x+2y-3z=4, 3x-y+5z=b, 4x+y+az=0,
com incógnitas x,y,z e parâmetros reais a,b. Vamos usar determinantes e teoria de sistemas lineares (posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada) para classificar os valores de a,b que geram ausência de solução, solução única ou infinitas soluções.
Passo 2
Monte a matriz de coeficientes
A= 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a
e calcule det A por cofactores da primeira linha:
det A =1cdot-1&51&a -2cdot3&54&a -3cdot3&-14&1
Fazendo as contas:
det A =( -a-5 )-2(3a-20)-3(3+4) =-7a+14 =7(2-a)
Passo 3
Como det Aneq0 se e só se aneq2, para aneq2 o sistema tem posto máximo e, portanto, solução única para todo b.
Passo 4
Quando a=2, temos det A=0 e então o posto de A cai para 2. Há dois subcasos: consistência (posto da matriz aumentada igual a 2) ou inconsistência (posto da aumentada passa a 3). Para ver isso, observe que, se a=2, a terceira equação
4x+y+2z=0
deve ser combinação linear das duas primeiras
x+2y-3z=4,3x-y+5z=b
Procuramos alpha,beta tais que
alpha,(x+2y-3z)+beta,(3x-y+5z) equiv4x+y+2z
O sistema para alpha,beta em cada coeficiente dá alpha=1, beta=1. Então a combinação produz o lado esquerdo correto, mas o lado direito fica
4alpha + bbeta = 4+b
Para que isso valha a terceira equação (que tem lado direito 0), é preciso
4+b=0 Longrightarrow b=-4
Passo 5
Logo, quando a=2:
Se bneq-4, o posto da matriz aumentada é 3 (maior que o posto de A =2) e o sistema não tem solução.
Se b=-4, a terceira equação fica dependente das duas primeiras e o posto permanece 2, gerando infinitas soluções.