Questão 3: (9 pontos) Marque verdadeiro ou falso, justificando sua resposta (ou seja, prove se for verdadeira ou dê um exemplo se a afirmativa for falsa).
(a) ( ) Se
é uma matriz quadrada tal que
então
.
(b) ( ) Uma matriz
é ortogonal quando
. Se
é ortogonal, então
?
(c) ( ) Um sistema homogêneo de 4 equações e 3 incógnitas, tem apenas a solução trivial.
(a) ( ) Se
(b) ( ) Uma matriz
(c) ( ) Um sistema homogêneo de 4 equações e 3 incógnitas, tem apenas a solução trivial.
Passo 1
O enunciado traz três afirmativas para julgarmos como verdadeiras ou falsas, cada uma envolvendo conceitos diferentes da Álgebra Linear:
– (a) uma relação polinomial em e sua inversa;
– (b) determinante de matrizes ortogonais;
– (c) solução de sistemas homogêneos em função do número de equações e incógnitas.
Para resolver precisaremos usar: o fato de que, se e
, então
é invertível; a propriedade
; e o teorema da dimensão do espaço solução de sistemas lineares.
– (a) uma relação polinomial em
– (b) determinante de matrizes ortogonais;
– (c) solução de sistemas homogêneos em função do número de equações e incógnitas.
Para resolver precisaremos usar: o fato de que, se
Passo 2
(a) Provar que, se
então
.
Como o polinômio satisfaz
, concluímos que
não é valor próprio de
e, portanto,
é invertível. Agora basta rearranjar:
Como o polinômio
Da última igualdade segue imediatamente que
Passo 3
(b) Verificar se de
segue
.
Para qualquer matriz quadrada vale
Para qualquer matriz quadrada vale
Se
é ortogonal então
, logo
Portanto, não é verdade que toda matriz ortogonal tenha determinante
.
Exemplo contrariamente:
Exemplo contrariamente:
tem
mas
.
Passo 4
(c) Analisar um sistema homogêneo de
equações e
incógnitas.
Sejam eqs e
incógnitas. O teorema da dimensão do espaço solução diz que
Sejam
com .
– Se , então e há apenas a solução trivial.
– Se , então e existem infinitas soluções não triviais.
Logo, não é garantido que o sistema tenha só a solução trivial; depende da classificação das equações.
Exemplo de não trivialidade: basta tomar duas ou mais equações lineares dependentes entre si.
– Se , então e há apenas a solução trivial.
– Se , então e existem infinitas soluções não triviais.
Logo, não é garantido que o sistema tenha só a solução trivial; depende da classificação das equações.
Exemplo de não trivialidade: basta tomar duas ou mais equações lineares dependentes entre si.
Resposta
(a) Verdadeiro.
(b) Falso.
(c) Falso.
(b) Falso.
(c) Falso.