Questão 3: (9 pontos) Marque verdadeiro ou falso, justificando sua resposta (ou seja, prove se for verdadeira ou dê um exemplo se a afirmativa for falsa).
(a) ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que A^2-4 A+I=0 então A^-1=4 I-A.
(b) ( ) Uma matriz An times n é ortogonal quando A cdot A^T=I. Se A é ortogonal, então det(A)=1 ?
(c) ( ) Um sistema homogêneo de 4 equações e 3 incógnitas, tem apenas a solução trivial.

Passo 1

O enunciado traz três afirmativas para julgarmos como verdadeiras ou falsas, cada uma envolvendo conceitos diferentes da Álgebra Linear:
– (a) uma relação polinomial em A e sua inversa;
– (b) determinante de matrizes ortogonais;
– (c) solução de sistemas homogêneos em função do número de equações e incógnitas.
Para resolver precisaremos usar: o fato de que, se p(A)=0 e p(0)neq0, então A é invertível; a propriedade det(A,A^T)=det(A)det(A^T); e o teorema da dimensão do espaço solução de sistemas lineares.

Passo 2

(a) Provar que, se
A^2-4A+I=0,
então ;A^-1=4I-A.
Como o polinômio p(lambda)=lambda^2-4lambda+1 satisfaz p(0)=1neq0, concluímos que 0 não é valor próprio de A e, portanto, A é invertível. Agora basta rearranjar:
A^2-4A+I=0 ;Longrightarrow; A^2-4A=-I ;Longrightarrow; A,(4I-A)=I
Da última igualdade segue imediatamente que
A^-1=4I-A

Passo 3

(b) Verificar se de A,A^T=I segue det(A)=1.
Para qualquer matriz quadrada vale
det(A,A^T)=det(A)det(A^T)=det(A)^2
Se A é ortogonal então det(A,A^T)=det(I)=1, logo
det(A)^2=1 ;Longrightarrow; det(A)=pm1
Portanto, não é verdade que toda matriz ortogonal tenha determinante +1.
Exemplo contrariamente:
A=1&00&-1,
tem A,A^T=I mas det(A)=-1.

Passo 4

(c) Analisar um sistema homogêneo de equações e incógnitas.
Sejam eqs e incógnitas. O teorema da dimensão do espaço solução diz que
com .
– Se , então e há apenas a solução trivial.
– Se , então e existem infinitas soluções não triviais.
Logo, não é garantido que o sistema tenha só a solução trivial; depende da classificação das equações.
Exemplo de não trivialidade: basta tomar duas ou mais equações lineares dependentes entre si.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Falso.
(c) Falso.

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