Dadas duas funções sobrejetoras alpha: A mapsto B, beta: B mapsto C tais que existe um função injetora f: C mapsto A definida como
(forall z in C) f(z)=x in A: z=beta(alpha(x))
Verifique se é a verdade que:
(a) beta é inversível;
(b) beta é bijetora;
(c) alpha é inversível;
(d) alpha é bijetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções que são sobrejetoras: alpha: A B e beta: B C. Além disso, existe uma função f: C A que é injetora, definida por f(z) = x onde z = beta(alpha(x)). Hoje, a gente vai verificar algumas propriedades dessas funções, usando conceitos de injetividade, sobrejetividade, bijetividade e funções inversas. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro!

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): beta é inversível?
O que significa uma função ser inversível?
Uma função é inversível se existir outra função que “desfaz” a primeira. Mais formalmente, uma função beta é inversível se existe uma função beta^-1: C B tal que:
beta^-1(beta(b)) = b para todo b in B
beta(beta^-1(c)) = c para todo c in C
Ou seja, aplicar beta e depois beta^-1 (ou vice-versa) te leva de volta ao ponto de partida.
Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, ser injetora e sobrejetora.
Analisando beta:
Sabemos que beta é sobrejetora (passo 1). Agora, será que ela é injetora?
A existência da função f: C A que é injetora nos dá uma pista. A definição de f é tal que para cada z in C, existe um único x in A com z = beta(alpha(x)). Isso sugere que beta circ alpha tem propriedades específicas.
Mas para beta ser inversível, ela precisa ser injetora. Contudo, como alpha vai de A para B e é sobrejetora, pode haver vários a in A que mapeiam para o mesmo b in B, fazendo com que beta não seja necessariamente injetora.
Portanto, sem mais informações, não podemos afirmar que beta é injetora.

Passo 3

Vamos para a parte (b): beta é bijetora?
O que significa ser bijetora?
Como mencionamos antes, uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Analisando beta:
Já sabemos que beta é sobrejetora. Mas, como vimos na parte (a), não temos garantia de que beta seja injetora. A existência da função injetora f não garante a injetividade de beta.
Conclusão:
Sem prova de que beta é injetora, não podemos afirmar que ela é bijetora.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (c): alpha é inversível?
O que significa alpha ser inversível?
Similarmente ao que falamos antes, alpha é inversível se existe uma função alpha^-1: B A tal que:
alpha^-1(alpha(a)) = a para todo a in A
alpha(alpha^-1(b)) = b para todo b in B
Para isso, alpha precisa ser bijetora.
Analisando alpha:
Sabemos que alpha é sobrejetora. Mas será que ela é injetora?
A função f é definida como f(z) = x onde z = beta(alpha(x)). Como f é injetora, isso significa que diferentes z em C mapeiam para diferentes x em A. Porém, isso não necessariamente implica que alpha seja injetora.
Conclusão:
Sem a garantia de que alpha é injetora, não podemos afirmar que ela é inversível.

Passo 5

Finalmente, a parte (d): alpha é bijetora?
O que significa ser bijetora?
alpha é bijetora se ela é injetora e sobrejetora.
Analisando alpha:
Já sabemos que alpha é sobrejetora. Mas, como na parte (c), não temos informações suficientes para garantir que alpha seja injetora.
Conclusão:
Sem prova de que alpha é injetora, não podemos afirmar que ela é bijetora.

Resposta

(a) beta não é necessariamente inversível.
(b) beta não é necessariamente bijetora.
(c) alpha não é necessariamente inversível.
(d) alpha não é necessariamente bijetora.

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