Dadas duas funções sobrejetoras
tais que existe um função injetora
definida como
Verifique se é a verdade que:
(a)
é inversível;
(b)
é bijetora;
(c)
é inversível;
(d)
é bijetora.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções que são sobrejetoras:
e
. Além disso, existe uma função
que é injetora, definida por
onde
. Hoje, a gente vai verificar algumas propriedades dessas funções, usando conceitos de injetividade, sobrejetividade, bijetividade e funções inversas. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro!
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
é inversível?
O que significa uma função ser inversível?
Uma função é inversível se existir outra função que “desfaz” a primeira. Mais formalmente, uma função é inversível se existe uma função
tal que:
Uma função é inversível se existir outra função que “desfaz” a primeira. Mais formalmente, uma função
Ou seja, aplicar
e depois
(ou vice-versa) te leva de volta ao ponto de partida.
Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, ser injetora e sobrejetora.
Analisando
:
Sabemos que é sobrejetora (passo 1). Agora, será que ela é injetora?
Sabemos que
A existência da função
que é injetora nos dá uma pista. A definição de
é tal que para cada
, existe um único
com
. Isso sugere que
tem propriedades específicas.
Mas para
ser inversível, ela precisa ser injetora. Contudo, como
vai de
para
e é sobrejetora, pode haver vários
que mapeiam para o mesmo
, fazendo com que
não seja necessariamente injetora.
Portanto, sem mais informações, não podemos afirmar que
é injetora.
Passo 3
Vamos para a parte (b):
é bijetora?
O que significa ser bijetora?
Como mencionamos antes, uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Como mencionamos antes, uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Analisando
:
Já sabemos que é sobrejetora. Mas, como vimos na parte (a), não temos garantia de que
seja injetora. A existência da função injetora
não garante a injetividade de
.
Já sabemos que
Conclusão:
Sem prova de que é injetora, não podemos afirmar que ela é bijetora.
Sem prova de que
Passo 4
Agora, vamos para a parte (c):
é inversível?
O que significa
ser inversível?
Similarmente ao que falamos antes, é inversível se existe uma função
tal que:
Similarmente ao que falamos antes,
Para isso,
precisa ser bijetora.
Analisando
:
Sabemos que é sobrejetora. Mas será que ela é injetora?
Sabemos que
A função
é definida como
onde
. Como
é injetora, isso significa que diferentes
em
mapeiam para diferentes
em
. Porém, isso não necessariamente implica que
seja injetora.
Conclusão:
Sem a garantia de que é injetora, não podemos afirmar que ela é inversível.
Sem a garantia de que
Passo 5
Finalmente, a parte (d):
é bijetora?
O que significa ser bijetora?
é bijetora se ela é injetora e sobrejetora.
Analisando
:
Já sabemos que é sobrejetora. Mas, como na parte (c), não temos informações suficientes para garantir que
seja injetora.
Já sabemos que
Conclusão:
Sem prova de que é injetora, não podemos afirmar que ela é bijetora.
Sem prova de que
Resposta
(a)
não é necessariamente inversível.
(b)
não é necessariamente bijetora.
(c)
não é necessariamente inversível.
(d)
não é necessariamente bijetora.