Questão 2 (11 pontos). Seja
o campo vetorial dado por
Calcule a integral
, onde
é uma curva plana que conecta o ponto
e o ponto
e que não passa pela origem
. Explique por que a integral não depende de curva
?
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede
onde é qualquer curva de
a
que não passe pela origem.
O conteúdo aqui é de campos conservativos: vamos mostrar que admite potencial escalar, o que garante independência de trajetória.
onde
O conteúdo aqui é de campos conservativos: vamos mostrar que
Passo 2
Procuramos
tal que
Integramos a primeira em relação a
:
Derivando essa expressão em
e igualando a
vemos que
.
Logo, uma escolha de potencial é
Logo, uma escolha de potencial é
Passo 3
O potencial
é bem definido e
em
, logo
nesse domínio.
Isto implica que é conservativo e que
depende apenas dos pontos finais e
, não do caminho.
Isto implica que
depende apenas dos pontos finais
Passo 4
Pela propriedade de campos conservativos: