Questão 2 (11 pontos). Seja F o campo vetorial dado por
F(x, y)=(xraizx^2+y^2, yraizx^2+y^2)
Calcule a integral integralC F d r, onde C é uma curva plana que conecta o ponto A(1,0) e o ponto B(-1,2) e que não passa pela origem (0,0). Explique por que a integral não depende de curva C ?

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=l(xraizx^2+y^2,,yraizx^2+y^2r)
e pede
integralCFcdot dr
onde C é qualquer curva de A(1,0) a B(-1,2) que não passe pela origem.
O conteúdo aqui é de campos conservativos: vamos mostrar que F admite potencial escalar, o que garante independência de trajetória.

Passo 2

Procuramos phi(x,y) tal que
partialphipartial x=xraizx^2+y^2, partialphipartial y=yraizx^2+y^2
Integramos a primeira em relação a x:
phi(x,y) =integralxraizx^2+y^2,dx =raizx^2+y^2+g(y)
Derivando essa expressão em y e igualando a tfracyraizx^2+y^2 vemos que g'(y)=0.
Logo, uma escolha de potencial é
phi(x,y)=raizx^2+y^2

Passo 3

O potencial phi(x,y)=raizx^2+y^2 é bem definido e C^1 em R^2setminus(0,0), logo F=nablaphi nesse domínio.
Isto implica que F é conservativo e que
integralCFcdot dr
depende apenas dos pontos finais A e B, não do caminho.

Passo 4

Pela propriedade de campos conservativos:
integralCFcdot dr =phil(Br)-phil(Ar) =raiz(-1)^2+2^2-raiz1^2+0^2 =raiz5-1

Resposta

raiz5-1

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