Questão 1 ( 11 pontos). Seja C a curva dada por
x=a cos t, y=a sen t, z=b t, a, b>0, t in[0,2 pi]
(a) Encontre o comprimento de C e os vetores T, N e B no ponto t=0.
(b) Calcule a integral de linha
I=integralC(x^2+y^2+z^2) d s

Passo 1

O enunciado descreve a curva C parametrizada por
r(t) = l(acos t,;asen t,;b,tr), a,b>0,;tin[0,2pi]
Pede-se em (a) o comprimento de C e os vetores unitários T, N, B no ponto t=0; em (b) a integral de linha
I=integralCl(x^2+y^2+z^2r),ds
Usaremos as fórmulas de comprimento de curva, vetores de Frenet e integral de linha.

Passo 2

Calculamos
r'(t)=l(-asen t,;acos t,;br),
então
| r'(t)| =raiza^2sen^2t + a^2cos^2t + b^2 =raiza^2+b^2
Logo o comprimento é
L=integral0^2pi| r'(t)|,dt =2piraiza^2+b^2

Passo 3

O vetor tangente unitário é
T(t) = r'(t)| r'(t)| =l(-asen t,;acos t,;br)raiza^2+b^2
Em t=0 temos
T(0) =(0,;a,;b)raiza^2+b^2

Passo 4

Derivando T e normalizando obtemos o normal principal:
T'(t) =l(-acos t,;-asen t,;0r)raiza^2+b^2, | T'(t)|=araiza^2+b^2,
N(t) = T'(t)| T'(t)| =(-cos t,;- sen t,;0)
Em t=0 segue
N(0)=(-1,;0,;0)

Passo 5

O binormal é B= Ttimes N. Em t=0:
B(0) = T(0)times N(0) =(0,a,b)raiza^2+b^2times(-1,0,0) =(0,-b,a)raiza^2+b^2

Passo 6

Para a integral de linha usamos
x^2+y^2+z^2=a^2+b^2t^2, ds=| r'(t)|,dt=raiza^2+b^2,dt
Assim
I =integral0^2pil(a^2+b^2t^2r)raiza^2+b^2,dt =raiza^2+b^2l(2pi a^2+b^2integral0^2pit^2dtr)
integral0^2pit^2dt=(2pi)^33=8pi^33
I =raiza^2+b^2l(2pi a^2+8pi^3b^23r) =2piraiza^2+b^2l(a^2+tfrac4pi^2b^23r)

Resposta

(a)
L=2piraiza^2+b^2, T(0)=(0,a,b)raiza^2+b^2, N(0)=(-1,0,0), B(0)=(0,-b,a)raiza^2+b^2
(b)
I =2piraiza^2+b^2l(a^2+tfrac4pi^2b^23r)

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