Questão 1 ( 11 pontos). Seja
a curva dada por
(a) Encontre o comprimento de
e os vetores
e
no ponto
.
(b) Calcule a integral de linha
(b) Calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado descreve a curva
parametrizada por
Pede-se em (a) o comprimento de
e os vetores unitários
no ponto
; em (b) a integral de linha
Usaremos as fórmulas de comprimento de curva, vetores de Frenet e integral de linha.
Passo 2
Calculamos
então
Logo o comprimento é
Passo 3
O vetor tangente unitário é
Em
temos
Passo 4
Derivando
e normalizando obtemos o normal principal:
Em
segue
Passo 5
O binormal é
. Em
:
Passo 6
Para a integral de linha usamos
Assim
Resposta
(a)
(b)