Questão 3 (11 pontos). Seja F o campo vetorial dado por
F=(e^x(1-cos y),-e^x(y-sen y))
e C=C1 cup C2 cup C3 a curva, sendo C1 o segmento da reta de (0,0) até (1,0), C2 o segmento da reta de (1,0) até (1,1) e C3 o segmento de reta de (1,1) até (0,0). Calcule a integral integralC F d r usando o Teorema de Green.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=e^xl(1-cos yr), ;Q(x,y)=-e^xl(y-sin yr),
e a curva fechada C=C1cup C2cup C3 orientada positivamente, delimitando o triângulo de vértices (0,0),(1,0),(1,1). Vamos usar o Teorema de Green, que diz:
ointCFcdot dr =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é a região interior.

Passo 2

Descrevemos D como o triângulo abaixo da reta y=x, acima de y=0, e à esquerda de x=1. Uma descrição prática é
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<= x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial xl[-e^x(y-sin y)r] =-e^x,(y-sin y),
partial Ppartial y =partialpartial yl[e^x(1-cos y)r] =e^xsin y
Logo o integrando em D é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-e^x,(y-sin y)-e^xsin y =-e^x,y

Passo 4

Aplicando Green:
ointCFcdot dr =integral duplaD(-e^x,y),dA =integralx=0^1!integraly=0^x(-y e^x),dy,dx

Passo 5

Fazendo primeiro a integração em y:
integral0^x(-y e^x),dy =-e^xintegral0^xy,dy =-e^xx^22
Agora em x:
integral0^1l(-x^22e^xr),dx =-12integral0^1x^2e^x,dx
Usando
integral x^2e^x,dx =e^xl(x^2-2x+2r)+C,
temos
integral0^1x^2e^x,dx =l[e^x(x^2-2x+2)r]0^1 =ecdot1-2 =e-2
Portanto
-12(e-2)=2-e2

Resposta

ointCFcdot dr =2-e2

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