Questão 3 (11 pontos). Seja F o campo vetorial dado por
e
a curva, sendo
o segmento da reta de
até
o segmento da reta de
até
e
o segmento de reta de
até
. Calcule a integral
usando o Teorema de Green.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva fechada
orientada positivamente, delimitando o triângulo de vértices
. Vamos usar o Teorema de Green, que diz:
onde
é a região interior.
Passo 2
Descrevemos
como o triângulo abaixo da reta
, acima de
, e à esquerda de
. Uma descrição prática é
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando em
é
Passo 4
Aplicando Green:
Passo 5
Fazendo primeiro a integração em
:
Agora em
:
Usando
temos
Portanto