Questão 1 (11 pontos). Seja
I=integral0^1(integral0^raiz1-y^2 raiz1-x^2 d x) d y
(a) Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
(b) Calcule o valor de I.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla definida por:
I = integral0^1(integral0^raiz1-y^2 raiz1-x^2 , dx) dy
O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas e a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar a região de integração no plano $ xy $ e depois inverter a ordem das integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olha só:
  • A variável $ y $ varia de $ 0 $ a $ 1 $.
  • Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ 0 $ até $ \sqrt{1 - y^{2}} $.
Isso significa que a fronteira superior para $ x $ é definida pela equação $ x = \sqrt{1 - y^{2}} $, que é a parte direita da circunferência de raio 1 centrada na origem.

Passo 3

Vamos desenhar isso no plano $ xy $:
  1. Desenhe o círculo $ x^{2} + y^{2} = 1 $.
  2. Considerando $ y $ de $ 0 $ a $ 1 $, estamos olhando para o primeiro quadrante do círculo.
  3. Para cada $ y $ nesse intervalo, $ x $ vai de $ 0 $ até a curva $ x = \sqrt{1 - y^{2}} $.
Então, a região de integração é o setor do primeiro quadrante da circunferência de raio 1.

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, temos $ y $ de $ 0 $ a $ 1 $ e, para cada $ y $, $ x $ de $ 0 $ a $ \sqrt{1 - y^{2}} $. Queremos expressar $ x $ primeiro.
  1. $ x $ varia de $ 0 $ a $ 1 $ (limites gerais no primeiro quadrante).
  2. Para cada $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ \sqrt{1 - x^{2}} $.
Então, a integral invertida fica:
y

Passo 5

Vamos agora calcular o valor de $ I $. Utilizando a forma invertida da integral:
I
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ y $:
I = integral0^1(integral0^raiz1 - x^2 raiz1 - x^2 , dy) dx

Passo 6

Agora, a integral de $ I $ fica:
I
Vamos integrar termo a termo:
I = integral0^1 (1 - x^2) dx

Resposta

O valor da integral $ I $ é $ \frac{2}{3} $.

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