Questão 1 (11 pontos). Seja
(a) Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
(b) Calcule o valor de
.
(b) Calcule o valor de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla definida por:
O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas e a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar a região de integração no plano $ xy $ e depois inverter a ordem das integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olha só:
- A variável $ y $ varia de $ 0 $ a $ 1 $.
- Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ 0 $ até $ \sqrt{1 - y^{2}} $.
Isso significa que a fronteira superior para $ x $ é definida pela equação $ x = \sqrt{1 - y^{2}} $, que é a parte direita da circunferência de raio 1 centrada na origem.
Passo 3
Vamos desenhar isso no plano $ xy $:
- Desenhe o círculo $ x^{2} + y^{2} = 1 $.
- Considerando $ y $ de $ 0 $ a $ 1 $, estamos olhando para o primeiro quadrante do círculo.
- Para cada $ y $ nesse intervalo, $ x $ vai de $ 0 $ até a curva $ x = \sqrt{1 - y^{2}} $.
Então, a região de integração é o setor do primeiro quadrante da circunferência de raio 1.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, temos $ y $ de $ 0 $ a $ 1 $ e, para cada $ y $, $ x $ de $ 0 $ a $ \sqrt{1 - y^{2}} $. Queremos expressar $ x $ primeiro.
- $ x $ varia de $ 0 $ a $ 1 $ (limites gerais no primeiro quadrante).
- Para cada $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ \sqrt{1 - x^{2}} $.
Então, a integral invertida fica:
Passo 5
Vamos agora calcular o valor de $ I $. Utilizando a forma invertida da integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ y $:
Passo 6
Agora, a integral de $ I $ fica:
Vamos integrar termo a termo:
Resposta
O valor da integral $ I $ é $ \frac{2}{3} $.