A temperatura T(t) de um objeto varia de acordo com a equação:
d Td t=-k(T-Ta)
onde:
  • Ta=25^circ C é a temperatura ambiente,
  • k=0.1 é a constante de resfriamento,
  • T(0)=80^circ C.
    Resolva a equação diferencial para encontrar T(t).

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de primeira ordem
dTdt=-kl(T-Tar)
com constantes k=0.1, Ta=25^circ C e condição inicial T(0)=80^circ C. Esse é o modelo de Newton do resfriamento e vamos usar separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Começamos separando variáveis: isolemos T de um lado e t do outro. Escrevemos
dTT-Ta=-k,dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. De um lado:
integral dTT-Ta=lnl|T-Tar|+C1
e do outro:
integral -k,dt=-k t +C2
Podemos agrupar constantes num só C, obtendo
lnl|T-Tar]=-k t + C

Passo 4

Exponenciando, temos
T-Ta = C' e^-k t
onde C'=e^C. Agora aplicamos T(0)=80:
80-25 = C' e^0 implies C'=55
Logo a solução fica
T(t)=Ta + 55 e^-k t=25 + 55 e^-0.1 t

Resposta

T(t)=25+55e^-0.1t

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