Questão 1 (11 pontos). Seja C o segmento da reta x+2 y=2, x >= 0, y >= 0.
(a) Encontre uma parametrização de C.
(b) Calcule a integral de linha
I=integralC 15 x+2 y d s

Passo 1

O enunciado fala de C, o segmento da reta x+2y=2 no primeiro quadrante, e pede duas coisas:
– (a) uma parametrização de C,
– (b) a integral de linha I=integralC15x+2y,ds.
Para isso precisamos lembrar que numa parametrização r(t) temos
ds=l| r'(t)r|,dt
e então substituímos x,y e ds na integral.

Passo 2

Escolhemos um parâmetro tin[0,1] que percorre o segmento de (2,0) a (0,1). Por exemplo:
r(t)=l(2(1-t),,tr), 0<= t<=1

Passo 3

Calculamos a derivada e o elemento de arco:
r'(t)=(-2,,1), ds=| r'(t)|,dt=raiz(-2)^2+1^2,dt=raiz5,dt
Na parametrização,
5x+2y=5l(2(1-t)r)+2t=10-8t,
então
15x+2y=110-8t

Passo 4

Substituindo na integral:
I=integralC15x+2y,ds =integral0^1110-8t,l(raiz5,dtr) =raiz5integral0^1dt10-8t
Fazendo a mudança u=10-8t, du=-8,dt, quando t=0 vem u=10 e quando t=1 vem u=2. Logo
I =raiz5integralu=10^u=2-18,duu =-raiz58l[ln ur]10^2 =raiz58l(ln10-ln2r) =raiz58ln5

Resposta

(a) r(t)=(2(1-t),,t), 0<= t<=1.
(b) I=raiz58ln5.

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