Questão 11: O potencial de um campo em uma certa região do espaço depende somente da coordenada x com V=-a x^3+b, onde a e b são constantes. Encontre a densidade de carga rho(x).

Passo 1

O enunciado nos dá um potencial eletrostático que depende somente de x,
V(x) = -a,x^3 + b,
e pede a densidade de carga rho(x). Para isso vamos usar a equação de Poisson em região livre de dielétrico:
nabla^2 V = -rhovarepsilon0

Passo 2

Como V depende apenas de x, o laplaciano reduz-se à segunda derivada em relação a x:
nabla^2 V = d^2Vdx^2
Calculando as derivadas de V(x)=-a,x^3+b:
dVdx = -3a,x^2, d^2Vdx^2 = -6a,x

Passo 3

A equação de Poisson relaciona nabla^2V e rho por
nabla^2V = -rho(x)varepsilon0,
ou seja,
rho(x) = -varepsilon0,nabla^2V

Passo 4

Substituindo nabla^2V = -6a,x na expressão de rho(x):
rho(x) = -varepsilon0,l(-6a,xr) = 6,a,varepsilon0,x

Resposta

rho(x) = 6,a,varepsilon0,x

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