Questão 9

Assinale a opção em que é apresentado um número que somente possui representação decimal inexata periódica.
(A) 0,101001000100001000001 \ldots
(A) 3,14159265358979323846 \ldots
(B) 0,123456789101112131415 \ldots
(C) 0,17647058823529411764 \ldots
(D) 12,00345999999999999999…

Passo 1

O enunciado pede: identificar a opção cuja representação decimal “somente possui representação decimal inexata periódica” — ou seja, um número que não admite representação decimal finita exata e cuja representação decimal é periódica (repetitiva) infinita. As opções dadas são (peguei os dígitos do enunciado):
(A) \,0,101001000100001000001\ldots
(A) \,3,14159265358979323846\ldots
(B) \,0,123456789101112131415\ldots
(C) \,0,17647058823529411764\ldots
(D) \,12,00345999999999999999\ldots

Passo 2

Conceito-chave que vou usar (explicado passo a passo):
  • Um número racional (fração de inteiros reduzida) tem representação decimal que é ou finita (termina) ou infinita periódica (eventualmente começa a repetir um bloco de dígitos). Isso vem da divisão por tentativas: ao dividir numerador por denominador, os restos possíveis são finitos, logo algum resto se repete e a parte decimal passa a repetir os quocientes correspondentes.
  • Um número irracional tem representação decimal infinita e não periódica (nunca entra numa repetição periódica).
  • Além disso: uma representação decimal finita existe exatamente quando, na fração reduzida, o denominador tem só fatores 2 e 5. Caso contrário (ou seja, se o denominador tiver primo diferente de 2 e 5), a decimal é infinita e periódica.
  • Observação prática: um decimal que termina também pode ser escrito com infinitos noves na forma alternativa (por exemplo 0,12999\ldots = 0,13), então caso apareça uma expansão com muitos 9s finais é preciso verificar se ela corresponde a uma representação finita equivalente.

Passo 3

Análise da opção (A) \,0,101001000100001000001\ldots.
Descrição do padrão: há um 1 seguido de 0s e o número de zeros entre uns aumenta: 0,1 0 1 00 1 000 1 0000 1 … — os blocos de zeros crescem indefinidamente.
Por que não pode ser periódico: se a expansão fosse periódica com período p, o padrão de dígitos se repetiria a cada p casas, então os espaços entre os 1s não poderiam aumentar indefinidamente — haveria um padrão fixo. Como aqui a distância entre uns cresce sem limite, não existe período finito que reproduza esse comportamento. Portanto essa sequência não é periódica; é não periódica e não termina. Logo não é do tipo “inexata periódica”.

Passo 4

Análise da opção (A) (segunda) \,3,14159265358979323846\ldots.
Esse é o número \pi (os dígitos iniciais de \pi). Fato conhecido e provado: \pi é irracional. Consequência: sua representação decimal é infinita e não periódica. Portanto também não é uma decimal periódica infinita (não é do tipo pedido).

Passo 5

Análise da opção (B) \,0,123456789101112131415\ldots.
Esse número é a concatenação dos inteiros positivos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,\ldots (constante de Champernowne). Esse tipo de construção produz uma sequência de dígitos que contém blocos cada vez mais longos e distintos (por exemplo na expansão aparece o bloco “101112” que não pode ser forçado por repetição de um bloco curto). Pelo mesmo raciocínio de crescimento de padrões: não existe um período fixo que, repetido, gere blocos arbitrariamente longos e novos. Logo a expansão não é periódica; é não periódica infinita. Portanto também não é do tipo pedido.

Passo 6

Análise da opção (C) \,0,17647058823529411764\ldots.
Observação: esse é um padrão clássico que aparece em frações de denominador 17. De fato sabe-se (ou pode-se verificar por divisão longa) que
\frac{1}{17}=0,0588235294117647\overline{0588235294117647}
ou seja, \frac{1}{17} tem período 16. Multiplicando por 3 obtemos
\frac{3}{17}=0,1764705882352941\overline{1764705882352941},
que corresponde exatamente aos dígitos dados na opção (C). Como 17 é primo diferente de 2 e 5, a fração \dfrac{3}{17} não admite representação decimal finita; sua expansão decimal é infinita e periódica. Portanto esse número tem representação decimal apenas na forma infinita periódica (não existe representação decimal finita para ele). Logo (C) satisfaz a propriedade pedida.
(Se quiser ver rapidamente por divisão: ao dividir 3 por 17 os restos possíveis são 1,2,\dots,16; como há número finito de restos, algum resto se repete e a sequência de quocientes começa a repetir — é a razão prática do período.)

Passo 7

Análise da opção (D) \,12,00345999999999999999\ldots.
Aqui aparece uma cauda com infinitos 9s a partir de certa casa decimal: 12,00345\underbrace{999\ldots}_\text{infinito}. Regra padrão: 0,\overline{9}=1. Usando isso,
0,003459999\ldots = 0,00345 + 0,000009999\ldots = 0,00345 + 0,00001 = 0,00346.
Portanto
12,003459999\ldots = 12,00346,
que é um decimal finito (exata). Assim esse número NÃO tem apenas representação decimal infinita periódica — ele tem representação decimal finita exata (além da forma com noves repetidos). Logo (D) não é a opção buscada.

Passo 8

Conclusão: entre as opções, apenas a opção (C) corresponde a um número racional que não admite representação decimal finita e cuja expansão decimal é periódica infinita (no caso \dfrac{3}{17}). As outras opções são ou irracionais não periódicas (A, segunda A, B) ou representam um decimal finito equivalente (D).

Resposta

(C)

Exercícios relacionados