Questão 11
Resposta: B
Resolução:
Queremos calcular
em que
é limitado pelos cilindros parabólicos
e pelos planos
- Projeção da região no plano
A projeção de
no plano
é a região limitada pelas curvas
Para encontrar os pontos de interseção, substituímos
em
:
Assim,
Logo,
Portanto, os pontos de interseção são
Da equação
obtemos
e então a região projetada pode ser descrita por
2) Limites para
Como os planos que limitam
são
temos
Logo, a integral tripla fica
3) Integração em
Como
não depende de
, temos
Assim,
Expandindo:
Logo,
4) Integração em
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites
e
:
No limite superior
:
No limite inferior
:
Portanto,
5) Integração em
Calculando termo a termo:
Assim,
Agora colocamos tudo no mesmo denominador, 168:
Logo,
Portanto,
Assim, a alternativa correta é a B .
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede calcular a integral tripla
. - A região
é limitada pelas superfícies: - cilindros parabólicos
e ; - planos
e .
- cilindros parabólicos
- Devemos integrar sobre todo o sólido
determinado por essas superfícies.
Passo 2
Projetar
no plano
e determinar a região de integração no plano:
- A projeção no plano
é a região limitada pelas curvas e . - Para achar os pontos de interseção, resolver
com . Substituindo em dá logo portanto ou . - Assim os pontos de interseção são
e . - Para descrever a região entre as curvas: escrevendo
como (considerando na região entre 0 e 1), obtemos, para , (Verificação rápida: para tem-se , pois .)
Passo 3
Determinar os limites em
:
- As superfícies que limitam em
são (plano inferior) e (plano superior), portanto
Passo 4
Montar a integral tripla com a ordem
(escolha natural já que os limites em
são simples e a projeção em
foi obtida):
Passo 5
Integrar em
(a função
é independente de
):
- Como
não depende de , - Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Expandir o integrando antes de integrar em
:
Logo
Passo 7
Integrar em
termo a termo:
- Antiderivadas em
: - Avaliando entre
e : - Calcular os valores:
- Para
: - Para
:
- Para
- Subtraindo,
Passo 8
Integrar em
(usar a regra da potência): calcular cada termo separadamente.
Portanto
Passo 9
Colocar as frações no mesmo denominador e simplificar:
- Usando denominador comum
: - Somando/subtraindo: