Questão 11

Resposta: B

Resolução:

Queremos calcular
\iiint_{E} x y d V,
em que E é limitado pelos cilindros parabólicos
y=x^{2}, \quad x=y^{2},
e pelos planos
z=0, \quad z=x+y .
  1. Projeção da região no plano x y
A projeção de E no plano x y é a região limitada pelas curvas
y=x^{2} \quad \text { e } \quad x=y^{2} .
Para encontrar os pontos de interseção, substituímos x=y^{2} em y=x^{2} :
y=\left(y^{2}\right)^{2}=y^{4} .
Assim,
y^{4}-y=0 \quad \Rightarrow \quad y\left(y^{3}-1\right)=0 .
Logo,
y=0 \quad \text { ou } \quad y=1 .
Portanto, os pontos de interseção são
(0,0) \quad \text { e } \quad(1,1) .
Da equação
x=y^{2},
obtemos
y=\sqrt{x},
e então a região projetada pode ser descrita por
0 \leq x \leq 1, \quad x^{2} \leq y \leq \sqrt{x} .

2) Limites para z

Como os planos que limitam E são
z=0 \quad \text { e } \quad z=x+y
temos
0 \leq z \leq x+y .
Logo, a integral tripla fica
\iiint_{E} x y d V=\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} \int_{0}^{x+y} x y d z d y d x .

3) Integração em z

Como x y não depende de z, temos
\int_{0}^{x+y} x y d z=x y(x+y) .
Assim,
\iiint_{E} x y d V=\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} x y(x+y) d y d x
Expandindo:
x y(x+y)=x^{2} y+x y^{2} .
Logo,
\iiint_{E} x y d V=\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}\left(x^{2} y+x y^{2}\right) d y d x .

4) Integração em y

Integrando termo a termo:
\int\left(x^{2} y+x y^{2}\right) d y=\frac{x^{2} y^{2}}{2}+\frac{x y^{3}}{3} .
Aplicando os limites y=x^{2} e y=\sqrt{x} :
\left[\frac{x^{2} y^{2}}{2}+\frac{x y^{3}}{3}\right]_{x^{2}}^{\sqrt{x}} .
No limite superior y=\sqrt{x} :
\frac{x^{2}(\sqrt{x})^{2}}{2}+\frac{x(\sqrt{x})^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{5 / 2}}{3} .
No limite inferior y=x^{2} :
\frac{x^{2}\left(x^{2}\right)^{2}}{2}+\frac{x\left(x^{2}\right)^{3}}{3}=\frac{x^{6}}{2}+\frac{x^{7}}{3} .
Portanto,
\iiint_{E} x y d V=\int_{0}^{1}\left(\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{5 / 2}}{3}-\frac{x^{6}}{2}-\frac{x^{7}}{3}\right) d x .

5) Integração em x

Calculando termo a termo:
\begin{gathered} \int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{2} d x=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8} \\\ \int_{0}^{1} \frac{x^{5 / 2}}{3} d x=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7 / 2}=\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7}=\frac{2}{21} \\\ \int_{0}^{1} \frac{x^{6}}{2} d x=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{14} \\\ \int_{0}^{1} \frac{x^{7}}{3} d x=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{24} \end{gathered}
Assim,
\iiint_{E} x y d V=\frac{1}{8}+\frac{2}{21}-\frac{1}{14}-\frac{1}{24} .
Agora colocamos tudo no mesmo denominador, 168:
\frac{1}{8}=\frac{21}{168}, \quad \frac{2}{21}=\frac{16}{168}, \quad \frac{1}{14}=\frac{12}{168}, \quad \frac{1}{24}=\frac{7}{168} .
Logo,
\iiint_{E} x y d V=\frac{21+16-12-7}{168}=\frac{18}{168}=\frac{3}{28} .
Portanto,
\iiint_{E} x y d V=\frac{3}{28}
Assim, a alternativa correta é a B .

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{E} x y \, dV.
  • A região E é limitada pelas superfícies:
    • cilindros parabólicos \;y=x^{2}\; e \;x=y^{2}\;;
    • planos \;z=0\; e \;z=x+y\;.
  • Devemos integrar sobre todo o sólido E determinado por essas superfícies.

Passo 2

Projetar E no plano xy e determinar a região de integração no plano:
  • A projeção no plano xy é a região limitada pelas curvas \;y=x^{2}\; e \;x=y^{2}.
  • Para achar os pontos de interseção, resolver y=x^{2} com x=y^{2}. Substituindo x=y^{2} em y=x^{2} y=(y^{2})^{2}=y^{4},logo y^{4}-y=0 \quad\Rightarrow\quad y(y^{3}-1)=0,portanto \;y=0\; ou \;y=1\;.
  • Assim os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).
  • Para descrever a região entre as curvas: escrevendo x=y^{2} como y=\sqrt{x} (considerando y\ge 0 na região entre 0 e 1), obtemos, para 0\le x\le1, x^{2}\le y\le \sqrt{x}.(Verificação rápida: para 0\le x\le1 tem-se x^{2}\le\sqrt{x}, pois \sqrt{x}-x^{2}=x^{1/2}(1-x^{3/2})\ge0.)

Passo 3

Determinar os limites em z:
  • As superfícies que limitam em z são z=0 (plano inferior) e z=x+y (plano superior), portanto 0\le z\le x+y.

Passo 4

Montar a integral tripla com a ordem dz\,dy\,dx (escolha natural já que os limites em z são simples e a projeção em xy foi obtida):
\iiint_{E} x y \, dV = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}} \int_{z=0}^{x+y} x y \, dz \, dy \, dx.

Passo 5

Integrar em z (a função x y é independente de z):
  • Como x y não depende de z, \int_{0}^{x+y} x y \, dz = x y \cdot (x+y).
  • Portanto a integral reduz-se a \iiint_{E} x y \, dV = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} x y (x+y) \, dy \, dx.

Passo 6

Expandir o integrando antes de integrar em y:
x y (x+y) = x^{2} y + x y^{2}.
Logo
\iiint_{E} x y \, dV = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} \bigl(x^{2} y + x y^{2}\bigr) \, dy \, dx.

Passo 7

Integrar em y termo a termo:
  • Antiderivadas em y: \int x^{2} y \, dy = \frac{x^{2} y^{2}}{2},\qquad \int x y^{2} \, dy = \frac{x y^{3}}{3}.
  • Avaliando entre y=x^{2} e y=\sqrt{x}: \left[\frac{x^{2} y^{2}}{2}+\frac{x y^{3}}{3}\right]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}}.
  • Calcular os valores:
    • Para y=\sqrt{x}: \frac{x^{2}(\sqrt{x})^{2}}{2}+\frac{x(\sqrt{x})^{3}}{3} =\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{5/2}}{3}.
    • Para y=x^{2}: \frac{x^{2}(x^{2})^{2}}{2}+\frac{x(x^{2})^{3}}{3} =\frac{x^{6}}{2}+\frac{x^{7}}{3}.
  • Subtraindo, \iiint_{E} x y \, dV = \int_{0}^{1}\left(\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{5/2}}{3}-\frac{x^{6}}{2}-\frac{x^{7}}{3}\right) dx.

Passo 8

Integrar em x (usar a regra da potência): calcular cada termo separadamente.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{8}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{5/2}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{7/2}}{7/2}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{7}=\frac{2}{21}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{6}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{7}}{7}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{14}.
  • \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{7}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{8}}{8}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{24}.
Portanto
\iiint_{E} x y \, dV = \frac{1}{8}+\frac{2}{21}-\frac{1}{14}-\frac{1}{24}.

Passo 9

Colocar as frações no mesmo denominador e simplificar:
  • Usando denominador comum 168: \frac{1}{8}=\frac{21}{168},\quad \frac{2}{21}=\frac{16}{168},\quad \frac{1}{14}=\frac{12}{168},\quad \frac{1}{24}=\frac{7}{168}.
  • Somando/subtraindo: \iiint_{E} x y \, dV = \frac{21+16-12-7}{168}=\frac{18}{168}=\frac{3}{28}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{28}

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