Questão 7
Resposta: A
Resolução:
Queremos determinar o plano tangente à esfera
no ponto
Como o ponto dado tem coordenada
, consideramos o hemisfério superior da esfera, dado por
O plano tangente à superfície
no ponto (
) é dado por
Neste caso,
1) Cálculo das derivadas parciais
Temos
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Agora avaliamos no ponto
:
- Equação do plano tangente
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Agora vamos colocar na forma
Distribuindo:
Somando os termos constantes:
Como
fica
Somando
aos dois lados:
Multiplicando tudo por
:
Reorganizando:
Portanto, o plano tangente é
Assim, a alternativa correta é a A.
Resposta: A
Resolução:
Queremos determinar o plano tangente à esfera
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dada a esfera com equação
- Ponto dado na esfera:
- Pergunta: determinar o plano tangente à esfera no ponto
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O ponto
tem coordenada , portanto pertence ao hemisfério superior da esfera. - A resposta final deve ser uma equação do tipo
Passo 2
Vamos modelar a superfície localmente como gráfico de uma função
(válido porque
no ponto). Definimos
Explicando a fórmula do plano tangente ao gráfico de
: se o ponto de tangência é
com
, então o plano tangente é
O que significam as coisas aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação da superfície quando só variamos mantendo fixo. -
é a derivada parcial em relação a : mede a inclinação quando só variamos mantendo fixo. - Esses dois números definem a inclinação do plano tangente nas direções
e .
No nosso caso
.
Passo 3
Calcular
e
usando regra da cadeia. Começamos por reescrever
como potência:
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Aqui a derivada de
é
e depois multiplica-se pela derivada interna
. Simplificando:
Analogamente, derivando em relação a
:
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
. Primeiro calculamos o denominador:
Portanto
Passo 5
Usar a fórmula do plano tangente com
,
,
e os valores de
:
Agora simplificamos passo a passo. Distribuindo os termos do lado direito:
Somando as constantes do lado direito:
Observando que
, temos:
Somando
em ambos os lados:
Passo 6
Colocar na forma
. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar frações:
Reorganizando todos os termos à esquerda:
Essa é a forma padrão do plano tangente desejado, com coeficientes
,
,
,
.
Passo 7
Checagem alternativa (útil para a prova): tratar a esfera de forma implícita com
. O vetor gradiente
é normal à superfície. Avaliando em
:
A equação do plano normal
dá
Dividindo por
e expandindo:
que leva exatamente a
confirmando o resultado anterior. Essa forma via gradiente é um atalho elegante que costuma ser útil na prova.