Questão 7
Resposta: A
Resolução:
Queremos determinar o plano tangente à esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
no ponto
Q=(1,1, \sqrt{2}) .
Como o ponto dado tem coordenada z>0, consideramos o hemisfério superior da esfera, dado por
z=f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} .
O plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto ( x_{0}, y_{0}, z_{0} ) é dado por
z-z_{0}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right) .
Neste caso,
\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=(1,1, \sqrt{2}) .

1) Cálculo das derivadas parciais

Temos
f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}=\left(4-x^{2}-y^{2}\right)^{1 / 2} .
Derivando em relação a x :
f_{x}(x, y)=\frac{1}{2}\left(4-x^{2}-y^{2}\right)^{-1 / 2}(-2 x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} .
Derivando em relação a y :
f_{y}(x, y)=\frac{1}{2}\left(4-x^{2}-y^{2}\right)^{-1 / 2}(-2 y)=-\frac{y}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} .
Agora avaliamos no ponto (1,1) :
\begin{aligned} & f_{x}(1,1)=-\frac{1}{\sqrt{4-1-1}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\\ & f_{y}(1,1)=-\frac{1}{\sqrt{4-1-1}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} . \end{aligned}
  1. Equação do plano tangente
Substituindo na fórmula do plano tangente:
z-\sqrt{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)-\frac{1}{\sqrt{2}}(y-1) .
Agora vamos colocar na forma
a x+b y+c z+d=0 .
Distribuindo:
z-\sqrt{2}=-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} .
Somando os termos constantes:
z-\sqrt{2}=-\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}
Como
\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
fica
z-\sqrt{2}=-\frac{x+y}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}
Somando \sqrt{2} aos dois lados:
z=-\frac{x+y}{\sqrt{2}}+2 \sqrt{2}
Multiplicando tudo por \sqrt{2} :
\sqrt{2} z=-(x+y)+4 .
Reorganizando:
x+y+\sqrt{2} z-4=0
Portanto, o plano tangente é
x+y+\sqrt{2} z-4=0 .
Assim, a alternativa correta é a A.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dada a esfera com equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
  • Ponto dado na esfera: Q=(1,1,\sqrt{2}).
  • Pergunta: determinar o plano tangente à esfera no ponto Q.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O ponto Q tem coordenada z=\sqrt{2}>0, portanto pertence ao hemisfério superior da esfera.
  • A resposta final deve ser uma equação do tipo a x+b y+c z+d=0.

Passo 2

Vamos modelar a superfície localmente como gráfico de uma função z=f(x,y) (válido porque z>0 no ponto). Definimos
f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}=\left(4-x^{2}-y^{2}\right)^{1/2}.
Explicando a fórmula do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y): se o ponto de tangência é \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) com z_{0}=f(x_{0},y_{0}), então o plano tangente é
z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
O que significam as coisas aqui:
  • f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x: mede a inclinação da superfície quando só variamos x mantendo y fixo.
  • f_{y} é a derivada parcial em relação a y: mede a inclinação quando só variamos y mantendo x fixo.
  • Esses dois números definem a inclinação do plano tangente nas direções x e y.
No nosso caso \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)=(1,1,\sqrt{2}).

Passo 3

Calcular f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) usando regra da cadeia. Começamos por reescrever f como potência:
f(x,y)=\left(4-x^{2}-y^{2}\right)^{1/2}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_{x}(x,y)=\frac{1}{2}\left(4-x^{2}-y^{2}\right)^{-1/2}\cdot(-2x).
Aqui a derivada de (\cdot)^{1/2} é \tfrac{1}{2}(\cdot)^{-1/2} e depois multiplica-se pela derivada interna -2x. Simplificando:
f_{x}(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}.
Analogamente, derivando em relação a y:
f_{y}(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (1,1). Primeiro calculamos o denominador:
\sqrt{4-1^{2}-1^{2}}=\sqrt{4-1-1}=\sqrt{2}.
Portanto
f_{x}(1,1)=-\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad f_{y}(1,1)=-\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Usar a fórmula do plano tangente com x_{0}=1, y_{0}=1, z_{0}=\sqrt{2} e os valores de f_x,f_y:
z-\sqrt{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)-\frac{1}{\sqrt{2}}(y-1).
Agora simplificamos passo a passo. Distribuindo os termos do lado direito:
z-\sqrt{2}=-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}.
Somando as constantes do lado direito:
z-\sqrt{2}=-\frac{x+y}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}.
Observando que \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, temos:
z-\sqrt{2}=-\frac{x+y}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}.
Somando \sqrt{2} em ambos os lados:
z=-\frac{x+y}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}.

Passo 6

Colocar na forma \,a x+b y+c z+d=0. Multiplicamos ambos os lados por \sqrt{2} para eliminar frações:
\sqrt{2}\,z=-(x+y)+4.
Reorganizando todos os termos à esquerda:
x+y+\sqrt{2}\,z-4=0.
Essa é a forma padrão do plano tangente desejado, com coeficientes a=1, b=1, c=\sqrt{2}, d=-4.

Passo 7

Checagem alternativa (útil para a prova): tratar a esfera de forma implícita com F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4. O vetor gradiente \nabla F=(2x,2y,2z) é normal à superfície. Avaliando em Q:
\nabla F(1,1,\sqrt{2})=(2,2,2\sqrt{2}).
A equação do plano normal \nabla F(Q)\cdot (x-1,y-1,z-\sqrt{2})=0
2(x-1)+2(y-1)+2\sqrt{2}\,(z-\sqrt{2})=0.
Dividindo por 2 e expandindo:
(x-1)+(y-1)+\sqrt{2}\,(z-\sqrt{2})=0,
que leva exatamente a
x+y+\sqrt{2}\,z-4=0,
confirmando o resultado anterior. Essa forma via gradiente é um atalho elegante que costuma ser útil na prova.

Resposta

x+y+\sqrt{2}\,z-4=0

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