Questão 11) Um satélite é lançado em órbita circular em torno da terra de forma a manter-se sobre um mesmo da superfície de nosso planeta (órbita geossíncrona). (a) A que distância da superfície estará o satélite? (b) Qual será a velocidade orbital do satélite? (c) Qual a energia mecânica total do satélite se sua massa for de 350 kg ? (d) Qual a energia potencial gravitacional do satélite? (Dica.: Para se manter sobre um mesmo ponto da Terra, o período orbital do satélite deve durar um dia terrestre).

Passo 1

O enunciado pede dados de um satélite em órbita circular geossíncrona (período igual a um dia terrestre, T=86400,s) em torno da Terra. Precisamos encontrar:
– (a) a altitude h acima da superfície;
– (b) a velocidade orbital v;
– (c) a energia mecânica total E_{\rm tot} para m=350,kg;
– (d) a energia potencial gravitacional U.
Usaremos mecânica orbital: força gravitacional fornece a força centrípeta e as fórmulas de energia em órbita circular.

Passo 2

Na órbita circular vale
\frac{G M m}{r^2} \;=\; m\,\frac{v^2}{r},
com v=r\omega e \omega=2\pi/T. Substituindo v e reorganizando, obtemos a terceira lei de Kepler:
r^3 \;=\;\frac{G M}{\omega^2} \;=\;\frac{G M\,T^2}{4\pi^2}.
Adotando G M=3{,}986\times10^{14},m³/s² e T=86400,s:
r =\Bigl(\frac{3{,}986\times10^{14}\,(86400)^2}{4\pi^2}\Bigr)^{\!1/3} \approx4{,}2164\times10^{7}\,\text{m}.
A altitude acima da superfície (Raio da Terra R_\oplus=6{,}371\times10^{6},m) é
h = r - R_{\oplus} \approx4{,}2164\times10^{7} - 6{,}371\times10^{6} =3{,}5793\times10^{7}\,\text{m}.

Passo 3

A velocidade orbital pode ser calculada por
v = r\,\omega = \frac{2\pi r}{T} \quad\text{ou}\quad v = \sqrt{\frac{G M}{r}}.
Numericamente,
v \approx \sqrt{\frac{3{,}986\times10^{14}}{4{,}2164\times10^{7}}} \approx3{,}076\,\text{m/s}.

Passo 4

A energia mecânica total em órbita circular é
E_{\rm tot} = K + U = \tfrac12\,m v^2 \;-\;\frac{G M m}{r} = -\frac{G M m}{2r}.
Para m=350,kg:
E_{\rm tot} = -\frac{3{,}986\times10^{14}\times350}{2\times4{,}2164\times10^{7}} \approx -1{,}656\times10^{9}\,\text{J}.

Passo 5

A energia potencial gravitacional, tomando U(\infty)=0, é
U = -\frac{G M m}{r}.
Logo,
U = -\frac{3{,}986\times10^{14}\times350}{4{,}2164\times10^{7}} \approx -3{,}312\times10^{9}\,\text{J}.

Resposta

(a) h\approx3,58\times10^{7}\,\text{m}.
(b) v\approx3,08\times10^{3}\,\text{m/s}.
(c) E_{\rm tot}\approx-1,66\times10^{9}\,\text{J}.
(d) U\approx-3,31\times10^{9}\,\text{J}.

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