Questão 3 Em uma certa região, o vetor potencial magnético é dado pela seguinte função em coordenadas cilíndricas:
; lembrando que as coordenadas cilíndricas são denotadas por
.
(a) Encontre o vetor campo magnético nesta região.
(b) Calcule o fluxo magnético através de uma anel de raio
, localizado no plano
e cujo centro coincide com a origem.
(c) Confirme sua resposta no item (b) calculando a integral de linha do vetor potencial magnético ao longo do anel.
(a) Encontre o vetor campo magnético nesta região.
(b) Calcule o fluxo magnético através de uma anel de raio
(c) Confirme sua resposta no item (b) calculando a integral de linha do vetor potencial magnético ao longo do anel.
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor potencial magnético em coordenadas cilíndricas
:
.
Pede-se:
– (a) o campo magnético ,
– (b) o fluxo magnético através de um anel de raio no plano
,
– (c) confirmar o item (b) via integral de linha .
Pede-se:
– (a) o campo magnético
– (b) o fluxo magnético através de um anel de raio
– (c) confirmar o item (b) via integral de linha
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a componente
do rotacional é
Como
e
, temos
Logo
As demais componentes são nulas, pois não há dependência em
nem em
.
Passo 3
Portanto
Passo 4
O fluxo magnético pelo anel de raio
no plano
é
Integrando em
:
e em
:
Passo 5
Agora a integral de linha de
ao longo do anel
,
,
:
Logo
que coincide com o fluxo calculado em (b), conforme esperado pelo teorema de Stokes.
Resposta
(a)
(b)
(c) conferindo (b).
(b)
(c)