Questão 3 Em uma certa região, o vetor potencial magnético é dado pela seguinte função em coordenadas cilíndricas: \vec{A}=2 s^{2} \hat{\varphi}; lembrando que as coordenadas cilíndricas são denotadas por (s, \varphi, z).
(a) Encontre o vetor campo magnético nesta região.
(b) Calcule o fluxo magnético através de uma anel de raio a, localizado no plano z=0 e cujo centro coincide com a origem.
(c) Confirme sua resposta no item (b) calculando a integral de linha do vetor potencial magnético ao longo do anel.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor potencial magnético em coordenadas cilíndricas (s,\varphi,z):
\displaystyle \vec{A}=2\,s^{2}\,\hat\varphi.
Pede-se:
– (a) o campo magnético \vec{B}=\nabla\times\vec{A},
– (b) o fluxo magnético através de um anel de raio a no plano z=0,
– (c) confirmar o item (b) via integral de linha \oint\vec{A}\cdot d\vec{\ell}.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a componente z do rotacional é
B_{z}=(\nabla\times\vec{A})_{z} =\frac{1}{s}\,\frac{\partial}{\partial s}\bigl(s\,A_{\varphi}\bigr) -\frac{1}{s}\,\frac{\partial A_{s}}{\partial \varphi}.
Como A_{s}=0 e A_{\varphi}=2s^{2}, temos
s\,A_{\varphi}=2\,s^{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial}{\partial s}(2\,s^{3})=6\,s^{2}.
Logo
B_{z}=\frac{1}{s}\,6\,s^{2}=6\,s.
As demais componentes são nulas, pois não há dependência em z nem em \varphi.

Passo 3

Portanto
\vec{B}=6\,s\,\hat z.

Passo 4

O fluxo magnético pelo anel de raio a no plano z=0 é
\Phi =\iint_{\text{anel}} \vec{B}\cdot d\vec{S} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a} (6\,s)\,\bigl(\hat z\cdot\hat z\,s\,ds\,d\varphi\bigr) =\int_{0}^{2\pi}\!d\varphi\int_{0}^{a}6\,s^{2}\,ds.
Integrando em s:
\int_{0}^{a}6\,s^{2}\,ds =6\,\frac{a^{3}}{3}=2\,a^{3},
e em \varphi:
\Phi=2\,a^{3}\times2\pi =4\pi\,a^{3}.

Passo 5

Agora a integral de linha de \vec{A} ao longo do anel s=a, z=0, \varphi\in[0,2\pi]:
d\vec{\ell} =\hat\varphi\;a\,d\varphi, \quad \vec{A}=2\,a^{2}\,\hat\varphi \;\Longrightarrow\; \vec{A}\cdot d\vec{\ell} =2\,a^{2}\;a\,d\varphi=2\,a^{3}\,d\varphi.
Logo
\oint \vec{A}\cdot d\vec{\ell} =\int_{0}^{2\pi}2\,a^{3}\,d\varphi =4\pi\,a^{3},
que coincide com o fluxo calculado em (b), conforme esperado pelo teorema de Stokes.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{B}=6\,s\,\hat z.
(b) \displaystyle \Phi=4\pi\,a^{3}.
(c) \displaystyle \oint\vec{A}\cdot d\vec{\ell}=4\pi\,a^{3}, conferindo (b).

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