Questão 11: Seja
um anel tal que
, para quaisquer
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um anel (comutativo ou não, não importa) cujas operações satisfazem, para todo
,
Queremos mostrar que
só pode ter o elemento nulo, i.e.,
. Vamos usar a existência do elemento neutro aditivo
e a propriedade geral de anéis de que
.
Passo 2
Em qualquer anel vale
Agora aplicamos a condição
escolhendo
.
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Pelo item anterior, o lado esquerdo é
e o direito é
. Logo
Como isso vale para todo
, todos os elementos de
coincidem com
.
Resposta
Portanto,
.