Questão 11: Seja (A,+, \cdot) um anel tal que x+y=x y, para quaisquer x, y \in A. Mostre que A=\{0\}.

Passo 1

O enunciado diz que A é um anel (comutativo ou não, não importa) cujas operações satisfazem, para todo x,y \in A,
x + y \;=\; x \cdot y.
Queremos mostrar que A só pode ter o elemento nulo, i.e., A=\{0\}. Vamos usar a existência do elemento neutro aditivo 0 e a propriedade geral de anéis de que x \cdot 0 = 0.

Passo 2

Em qualquer anel vale
x + 0 = x \quad\text{e}\quad x\cdot 0 = 0 \quad\forall x\in A.
Agora aplicamos a condição x+y = x\,y escolhendo y=0.

Passo 3

Substituindo y=0 em x + y = x\,y, obtemos
x + 0 \;=\; x\cdot 0.
Pelo item anterior, o lado esquerdo é x e o direito é 0. Logo
x = 0.
Como isso vale para todo x\in A, todos os elementos de A coincidem com 0.

Resposta

Portanto, A=\{0\}\.

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