Verificar se as aplicações são transformações lineares:
c) T: R^{3} \rightarrow R^{2} definida por T(x, y, z)=(2 x-y, y-3 z)
d) S: R^{2} \rightarrow R^{2} definida por S(x, y)=(x+y, 2 x-y)
e) W: R^{3} \rightarrow R^{3} definida por W(x, y, z)=(x-y, y-z, z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as aplicações
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y,z) = (2x - y,\;y - 3z),
S\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
S(x,y) = (x + y,\;2x - y),
e
W\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por
W(x,y,z) = (x - y,\;y - z,\;z)
são transformações lineares. O conteúdo usado será a definição de transformação linear: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Uma aplicação L entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar \alpha, valem
L(u+v) \;=\; L(u) + L(v),
L(\alpha\,u) \;=\; \alpha\,L(u).

Passo 3

Verificação para T. Dados
\,(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\in\mathbb{R}^3 e \alpha\in\mathbb{R}, temos
T\bigl((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)\bigr) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
= \bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;(y_1+y_2)-3(z_1+z_2)\bigr)
= (2x_1-y_1,\;y_1-3z_1) \;+\;(2x_2-y_2,\;y_2-3z_2) = T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2).
E
T\bigl(\alpha\,(x_1,y_1,z_1)\bigr) = T(\alpha x_1,\;\alpha y_1,\;\alpha z_1) = \bigl(2\alpha x_1-\alpha y_1,\;\alpha y_1-3\alpha z_1\bigr) = \alpha\,(2x_1-y_1,\;y_1-3z_1) = \alpha\,T(x_1,y_1,z_1).
Logo T é linear.

Passo 4

Verificação para S. Dados (x_1,y_1),(x_2,y_2) e \alpha:
S((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) = S(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\bigr)
= (x_1+y_1,\;2x_1-y_1)+(x_2+y_2,\;2x_2-y_2) = S(x_1,y_1)+S(x_2,y_2),
S\bigl(\alpha\,(x_1,y_1)\bigr) = S(\alpha x_1,\;\alpha y_1) = \bigl(\alpha x_1+\alpha y_1,\;2\alpha x_1-\alpha y_1\bigr) = \alpha\,(x_1+y_1,\;2x_1-y_1) = \alpha\,S(x_1,y_1).
Portanto S é linear.

Passo 5

Verificação para W. Dados (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2) e \alpha:
W((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)) = W(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
= \bigl((x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;(y_1+y_2)-(z_1+z_2),\;z_1+z_2\bigr)
= (x_1-y_1,\;y_1-z_1,\;z_1)+(x_2-y_2,\;y_2-z_2,\;z_2) = W(x_1,y_1,z_1)+W(x_2,y_2,z_2),
W\bigl(\alpha\,(x_1,y_1,z_1)\bigr) = W(\alpha x_1,\;\alpha y_1,\;\alpha z_1) = \bigl(\alpha x_1-\alpha y_1,\;\alpha y_1-\alpha z_1,\;\alpha z_1\bigr) = \alpha\,W(x_1,y_1,z_1).
Logo W é linear.

Resposta

As três aplicações T, S e W são transformações lineares.

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