Questão 9: Seja A\) um anel e \(a \in A\). Para todo inteiro \(n \in \mathbb{Z}\), define-se a multiplicação de \(a\) por \(n\) da seguinte forma:
\[n \cdot a= \begin{cases}\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \text { vezes }}, & \text { se } n>0, \\\\ 0, & \text { se } n=0, \\\\ -(\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \text { vezes }}), & \text { se } n<0 .\end{cases}
Com essa notação:
A) Para todo anel A\], vale que \(n \cdot a+m \cdot a=(n+m) \cdot a;
B) Apresente duas matrizes X, Y \in M_{2}(\mathbb{R}) tais que (X+Y)^{2} \neq X^{2}+2 X Y+Y^{2};
C) Mostre que em todo anel comutativo A vale que (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}, para quaisquer a, b \in A.
Passo 1
O enunciado define em qualquer anel A\) a “multiplicação” de um elemento \(a\in A\) por um inteiro \(n\) como
\[n\cdot a = \begin{cases} \underbrace{a+a+\cdots+a}_{n\text{ vezes}},&n>0,\\\\ 0,&n=0,\\\\ -\bigl(\underbrace{a+a+\cdots+a}_{|n|\text{ vezes}}\bigr),&n<0. \end{cases}
Pede-se:
A) Provar que para todo n,m\in\mathbb{Z}\] vale
\[n\cdot a \;+\; m\cdot a \;=\;(n+m)\cdot a.\]
B) Exibir \(X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}) tais que
(X+Y)^{2}\;\neq\;X^{2}+2XY+Y^{2}.
C) Mostrar que em qualquer anel comutativo A vale a fórmula do quadrado do binômio
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \quad\forall\,a,b\in A.
Conteúdos necessários: axiomas de anel (grupo abeliano aditivo, distributividade), exemplo de não comutatividade em M_{2}(\mathbb{R}) e uso da comutatividade em A.
Passo 2
(Prova de A) Vamos usar diretamente a definição de n\cdot a como soma iterada e a associatividade/comutatividade da soma em A.
Se n,m\ge0, então
n\cdot a = \underbrace{a+\cdots+a}_{n},\quad m\cdot a = \underbrace{a+\cdots+a}_{m},
de modo que
n\cdot a + m\cdot a =\underbrace{a+\cdots+a}_{n}+\underbrace{a+\cdots+a}_{m} =\underbrace{a+\cdots+a}_{n+m} =(n+m)\cdot a.
Os casos em que n ou m são negativos ou nulos seguem por análise semelhante (soma de negativos dá negativo, soma com zero preserva o outro termo). Logo vale sempre
n\cdot a + m\cdot a = (n+m)\cdot a.
Passo 3
(Exemplo de B) Em M_{2}(\mathbb{R}) a multiplicação de matrizes não é comutativa. Tome, por exemplo,