Questão 9: Seja A\) um anel e \(a \in A\). Para todo inteiro \(n \in \mathbb{Z}\), define-se a multiplicação de \(a\) por \(n\) da seguinte forma: \[n \cdot a= \begin{cases}\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \text { vezes }}, & \text { se } n>0, \\\\ 0, & \text { se } n=0, \\\\ -(\underbrace{a+a+\cdots+a}_{n \text { vezes }}), & \text { se } n<0 .\end{cases}
Com essa notação:
A) Para todo anel A\], vale que \(n \cdot a+m \cdot a=(n+m) \cdot a;
B) Apresente duas matrizes X, Y \in M_{2}(\mathbb{R}) tais que (X+Y)^{2} \neq X^{2}+2 X Y+Y^{2};
C) Mostre que em todo anel comutativo A vale que (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}, para quaisquer a, b \in A.

Passo 1

O enunciado define em qualquer anel A\) a “multiplicação” de um elemento \(a\in A\) por um inteiro \(n\) como \[n\cdot a = \begin{cases} \underbrace{a+a+\cdots+a}_{n\text{ vezes}},&n>0,\\\\ 0,&n=0,\\\\ -\bigl(\underbrace{a+a+\cdots+a}_{|n|\text{ vezes}}\bigr),&n<0. \end{cases}
Pede-se:
A) Provar que para todo n,m\in\mathbb{Z}\] vale \[n\cdot a \;+\; m\cdot a \;=\;(n+m)\cdot a.\] B) Exibir \(X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}) tais que
(X+Y)^{2}\;\neq\;X^{2}+2XY+Y^{2}.
C) Mostrar que em qualquer anel comutativo A vale a fórmula do quadrado do binômio
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \quad\forall\,a,b\in A.
Conteúdos necessários: axiomas de anel (grupo abeliano aditivo, distributividade), exemplo de não comutatividade em M_{2}(\mathbb{R}) e uso da comutatividade em A.

Passo 2

(Prova de A) Vamos usar diretamente a definição de n\cdot a como soma iterada e a associatividade/comutatividade da soma em A.
  • Se n,m\ge0, então
n\cdot a = \underbrace{a+\cdots+a}_{n},\quad m\cdot a = \underbrace{a+\cdots+a}_{m},
de modo que
n\cdot a + m\cdot a =\underbrace{a+\cdots+a}_{n}+\underbrace{a+\cdots+a}_{m} =\underbrace{a+\cdots+a}_{n+m} =(n+m)\cdot a.
  • Os casos em que n ou m são negativos ou nulos seguem por análise semelhante (soma de negativos dá negativo, soma com zero preserva o outro termo). Logo vale sempre
n\cdot a + m\cdot a = (n+m)\cdot a.

Passo 3

(Exemplo de B) Em M_{2}(\mathbb{R}) a multiplicação de matrizes não é comutativa. Tome, por exemplo,
X=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad Y=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Então
X^{2}=0,\quad Y^{2}=0,
XY=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad YX=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
portanto
(X+Y)^{2} =XY+YX =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
mas
X^{2}+2XY+Y^{2} =2\,XY =\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Como
\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
temos o exemplo desejado.

Passo 4

(Prova de C) Em qualquer anel A vale a distributividade e, se A é comutativo, vale ab=ba. Então
(a+b)^{2}=(a+b)(a+b) =a(a+b)+b(a+b) =a^{2}+ab+ba+b^{2}.
Pela comutatividade ab=ba, segue
a^{2}+ab+ba+b^{2} =a^{2}+ab+ab+b^{2} =a^{2}+2ab+b^{2},
onde 2ab=(1+1)\cdot(ab)=ab+ab.

Resposta

(A) Para todo anel A e quaisquer n,m\in\mathbb{Z} e a\in A vale
n\cdot a + m\cdot a = (n+m)\cdot a.
(B) Um exemplo em M_{2}(\mathbb{R}) é
X=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},
pois então
(X+Y)^{2}\neq X^{2}+2XY+Y^{2}.
(C) Em todo anel comutativo A e quaisquer a,b\in A tem-se
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

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