Questão 10: Seja (D,+, \cdot) um domínio de integridade e seja a \in D tal que a \neq 0. Prove que:
A) A função \varphi_{a}: D \rightarrow D, definida por \varphi_{a}(x)=a x, para todo x \in D, é injetiva;
B) Use o item (a) para provar que todo domínio de integridade finito é um corpo.
(DICA: Uma função injetiva de um conjunto finito nele mesmo deve ser sobrejetiva)

Passo 1

O enunciado trabalha com um domínio de integridade (D,+,\cdot), ou seja, um anel comutativo sem divisores de zero, e um elemento a\in D, a\neq0. Precisamos mostrar:
A) A aplicação \varphi_{a}:D\to D dada por \varphi_{a}(x)=a\,x é injetiva.
B) Usando (A) e o fato de que todo conjunto finito que admite uma aplicação injetiva em si mesmo também admite essa aplicação como sobrejetiva, provar que D é corpo (isto é, todo a\neq0 é invertível).

Passo 2

Para provar a injetividade de \varphi_{a}, consideremos quaisquer x,y\in D tais que
\varphi_{a}(x)=\varphi_{a}(y).
Isso significa
a\,x = a\,y.
Reescrevendo,
a\,(x - y)=0.
Como D é domínio de integridade e a\neq0, não há divisores de zero, logo x - y=0 e, portanto, x=y. Isso mostra que \varphi_{a} é injetiva.

Passo 3

Agora suponha que D seja finito. Pelo item (A), \varphi_{a} é uma aplicação injetiva de D em si mesmo. Num conjunto finito, qualquer aplicação injetiva é também sobrejetiva. Assim, existe algum b\in D tal que
\varphi_{a}(b)=1,
isto é,
a\,b=1.
Isso prova que b=a^{-1} e, como a\neq0 era arbitrário, todo elemento não nulo de D é invertível.

Resposta

A) \varphi_{a} é injetiva porque a(x-y)=0 implica x=y em domínio de integridade.
B) Se D é finito, \varphi_{a} injetiva é sobrejetiva, logo existe b com a\,b=1. Assim, todo a\neq0 em D tem inverso, de modo que D é corpo.

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