Questão 10: Seja
um domínio de integridade e seja
tal que
. Prove que:
A) A função
, definida por
, para todo
, é injetiva;
B) Use o item (a) para provar que todo domínio de integridade finito é um corpo.
(DICA: Uma função injetiva de um conjunto finito nele mesmo deve ser sobrejetiva)
A) A função
B) Use o item (a) para provar que todo domínio de integridade finito é um corpo.
(DICA: Uma função injetiva de um conjunto finito nele mesmo deve ser sobrejetiva)
Passo 1
O enunciado trabalha com um domínio de integridade
, ou seja, um anel comutativo sem divisores de zero, e um elemento
,
. Precisamos mostrar:
A) A aplicação dada por
é injetiva.
B) Usando (A) e o fato de que todo conjunto finito que admite uma aplicação injetiva em si mesmo também admite essa aplicação como sobrejetiva, provar que é corpo (isto é, todo
é invertível).
A) A aplicação
B) Usando (A) e o fato de que todo conjunto finito que admite uma aplicação injetiva em si mesmo também admite essa aplicação como sobrejetiva, provar que
Passo 2
Para provar a injetividade de
, consideremos quaisquer
tais que
Isso significa
Reescrevendo,
Como
é domínio de integridade e
, não há divisores de zero, logo
e, portanto,
. Isso mostra que
é injetiva.
Passo 3
Agora suponha que
seja finito. Pelo item (A),
é uma aplicação injetiva de
em si mesmo. Num conjunto finito, qualquer aplicação injetiva é também sobrejetiva. Assim, existe algum
tal que
isto é,
Isso prova que
e, como
era arbitrário, todo elemento não nulo de
é invertível.
Resposta
A)
é injetiva porque
implica
em domínio de integridade.
B) Se é finito,
injetiva é sobrejetiva, logo existe
com
. Assim, todo
em
tem inverso, de modo que
é corpo.
B) Se