Questão 11. Seja a_{k}, k \geqslant 1 uma sequência numérica dada. Suponhamos que a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} \cos n x convirja uniformemente em [-\pi, \pi]. Seja F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} \cos n x, x \in[-\pi, \pi]. Prove que, para todo natural k \geqslant 1.
a_{k}=\int_{-\pi}^{\pi} F(x) \cos k x d x

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência \{a_{n}\}_{n\ge1} e supõe que
F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx)
converge uniformemente em [-\pi,\pi]. Queremos mostrar que, para todo k\ge1,
a_{k}=\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\cos(kx)\,dx.
O que vamos usar: (i) uniformidade de convergência permite integrar termo a termo; (ii) ortogonalidade das funções \cos(nx) em [-\pi,\pi].

Passo 2

Como a série que define F converge uniformemente, F é contínua em [-\pi,\pi] e podemos trocar soma e integral. Assim
\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\cos(kx)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx)\Bigr)\cos(kx)\,dx =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)\,dx.

Passo 3

Usamos agora a ortogonalidade das cossenos: para inteiros n,k\ge1 vale
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)\,dx =\begin{cases} 0,&n\neq k,\\\ \pi,&n=k. \end{cases}

Passo 4

Pela ortogonalidade, na soma só sobrevive o termo n=k. Logo
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)\,dx =a_{k}\,\pi.
Portanto
\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\cos(kx)\,dx =a_{k}\,\pi.

Passo 5

Finalmente, se isolarmos a_{k} temos
a_{k} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\cos(kx)\,dx.
Se o enunciado quiser a forma sem o fator 1/\pi, basta notar que fica
\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\cos(kx)\,dx =a_{k}.

Resposta

a_{k}=\int_{-\pi}^{\pi}F(x)\cos(kx)\,dx.

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