Questão 11. Seja
uma sequência numérica dada. Suponhamos que a série
convirja uniformemente em
. Seja
. Prove que, para todo natural
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência
e supõe que
converge uniformemente em
. Queremos mostrar que, para todo
,
O que vamos usar: (i) uniformidade de convergência permite integrar termo a termo; (ii) ortogonalidade das funções
em
.
Passo 2
Como a série que define
converge uniformemente,
é contínua em
e podemos trocar soma e integral. Assim
Passo 3
Usamos agora a ortogonalidade das cossenos: para inteiros
vale
Passo 4
Pela ortogonalidade, na soma só sobrevive o termo
. Logo
Portanto
Passo 5
Finalmente, se isolarmos
temos
Se o enunciado quiser a forma sem o fator
, basta notar que fica