— Questão 32. Seja \left(p_{n}\right) a sequência as potências perfeitas, i.e.
P=\{1,4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,81,100,121,125,144,169, \ldots, \ldots\}
Defina N=\mathbb{N} \backslash P o conjunto dos números naturais que não são potências perfeitas.
N=\{2,3,5,6,7,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,24,26,28, \ldots\}
Considere as igualdades abaixo
\begin{aligned} \sum_{n \geq 2} \frac{1}{p_{n}-1} & =\sum_{x \in N} \sum_{k \geq 2} \frac{1}{x^{k}-1} \\\ & =\sum_{x \in N} \sum_{k \geq 2} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{x^{n k}}=\sum_{k \geq 2} \sum_{j \geq 2} \frac{1}{j^{k}} \\\ & =\sum_{j \geq 2} \frac{1}{j(j-1)}=\sum_{j \geq 2}\left(\frac{1}{j-1}-\frac{1}{j}\right)=1 \end{aligned}
i) Justifique cada igualdade.
ii) Faça uma algortimo para calcular numericamente essa soma.
iii) Calcule numericamente a soma \sum_{n \geq 1} \frac{1}{p_{n}+1}=\frac{\pi^{2}}{3}-\frac{5}{2}
iv) Calcule numericamente a soma \sum_{n \geq 1} \frac{1}{p_{n}}=0,874463 \ldots
" …paciência e persistência vem em primeiro lugar, pois quase sempre é preciso retomar o caminho, deixar trilhas seguidas durante anos, começar tudo de novo."

A. Sampaio

Passo 1

O enunciado define a sequência das potências perfeitas
P=\{1,4,8,9,16,25,27,32,\dots\}
e o conjunto complementar
N=\mathbb{N}\setminus P=\{2,3,5,6,7,10,\dots\}.
Pede-se i) justificar a cadeia de igualdades que leva à soma 1, ii) projetar um algoritmo para aproximar numericamente essa soma, iii) calcular numericamente
\displaystyle \sum_{n\ge1}\frac1{p_n+1}=\frac{\pi^2}{3}-\frac52, e iv) calcular numericamente
\displaystyle \sum_{n\ge1}\frac1{p_n}\approx0,874463.
Para isso vamos usar:
1. Decomposição única de cada inteiro >1 em x^k com x\in N, k\ge2.
2. Reagrupamento (troca de ordem) de somas absolutamente convergentes.
3. Série geométrica
\displaystyle \sum_{n\ge1}r^n=\frac r{1-r} para |r|<1.
4. Soma telescópica

Passo 2

Justificamos cada igualdade:
1. \displaystyle \sum_{n\ge2}\frac1{p_n-1}=\sum_{x\in N}\sum_{k\ge2}\frac1{x^k-1}
Porque cada potência perfeita p_n>1 aparece exatamente uma vez como x^k com x\in N, k\ge2.
2. \displaystyle \sum_{x\in N}\sum_{k\ge2}\frac1{x^k-1} =\sum_{x\in N}\sum_{k\ge2}\sum_{m\ge1}\frac1{x^{km}}
Pois para |x^{-k}|<1 vale
\frac1{x^k-1}=\sum_{m\ge1}\frac1{x^{km}}.
3. \displaystyle \sum_{x\in N}\sum_{k\ge2}\sum_{m\ge1}\frac1{x^{km}} =\sum_{k\ge2}\sum_{j\ge2}\frac1{j^k}
Trocando a ordem e usando que todo inteiro j\ge2 é único x^m com x\in N, m\ge1.
4. \displaystyle \sum_{k\ge2}\sum_{j\ge2}\frac1{j^k} =\sum_{j\ge2}\sum_{k\ge2}\frac1{j^k} =\sum_{j\ge2}\frac{1/j^2}{1-1/j} =\sum_{j\ge2}\frac1{j(j-1)}.
5. \displaystyle \sum_{j\ge2}\frac1{j(j-1)} =\sum_{j\ge2}\Bigl(\frac1{j-1}-\frac1j\Bigr) =1 por soma telescópica.

Passo 3

Pseudocódigo para aproximar numericamente \sum_{n\ge2}1/(p_n-1):
def \(soma_perfeitas\)(MAX):
    P \(=\) conjunto vazio
    for x in range(\(2\), floor(sqrt(MAX))\(+1\)):
        p \(=\) x*x
        while p <\(=\) MAX:
            P.add(p)
            p *\(=\) x
    listaP \(=\) sorted(P)
    S \(=0\)
    for p in listaP:
        if p > \(1\):
            S \(+=1\)/(p - \(1\))
    return S
Aumente MAX até a soma convergir dentro da precisão desejada.

Passo 4

A soma
\sum_{n\ge1}\frac1{p_n+1}
pode ser feita de modo análogo ou reconhecida pela identidade dada. Usando
\frac{\pi^2}{3}-\frac52\approx3,289868133\;-\;2,5=0,789868133.

Passo 5

Para
\displaystyle \sum_{n\ge1}\frac1{p_n}
usamos o mesmo algoritmo mudando o termo para 1/p. Numericamente obtém-se
\sum_{n\ge1}\frac1{p_n}\approx0,874463.

Resposta

i) Justificações no Passo 2.
ii) Pseudocódigo no Passo 3.
iii)
\sum_{n\ge1}\frac1{p_n+1} =\frac{\pi^2}{3}-\frac52\approx0,789868133.
iv)
\sum_{n\ge1}\frac1{p_n}\approx0,874463.

Exercícios relacionados