— Questão 32. Seja
a sequência as potências perfeitas, i.e.
Defina
o conjunto dos números naturais que não são potências perfeitas.
Considere as igualdades abaixo
i) Justifique cada igualdade.
ii) Faça uma algortimo para calcular numericamente essa soma.
iii) Calcule numericamente a soma
iv) Calcule numericamente a soma
" …paciência e persistência vem em primeiro lugar, pois quase sempre é preciso retomar o caminho, deixar trilhas seguidas durante anos, começar tudo de novo."
ii) Faça uma algortimo para calcular numericamente essa soma.
iii) Calcule numericamente a soma
iv) Calcule numericamente a soma
" …paciência e persistência vem em primeiro lugar, pois quase sempre é preciso retomar o caminho, deixar trilhas seguidas durante anos, começar tudo de novo."
Passo 1
O enunciado define a sequência das potências perfeitas
e o conjunto complementar
Pede-se i) justificar a cadeia de igualdades que leva à soma
, ii) projetar um algoritmo para aproximar numericamente essa soma, iii) calcular numericamente
, e iv) calcular numericamente
.
Para isso vamos usar:
. Decomposição única de cada inteiro
em
com
,
.
. Reagrupamento (troca de ordem) de somas absolutamente convergentes.
. Série geométrica
para
.
. Soma telescópica
Para isso vamos usar:
Passo 2
Justificamos cada igualdade:
.
Porque cada potência perfeita aparece exatamente uma vez como
com
,
.
.
Pois para vale
Porque cada potência perfeita
Pois para
Trocando a ordem e usando que todo inteiro
Passo 3
Pseudocódigo para aproximar numericamente
:
def \(soma_perfeitas\)(MAX):
P \(=\) conjunto vazio
for x in range(\(2\), floor(sqrt(MAX))\(+1\)):
p \(=\) x*x
while p <\(=\) MAX:
P.add(p)
p *\(=\) x
listaP \(=\) sorted(P)
S \(=0\)
for p in listaP:
if p > \(1\):
S \(+=1\)/(p - \(1\))
return S
Aumente
MAX
até a soma convergir dentro da precisão desejada.Passo 4
A soma
pode ser feita de modo análogo ou reconhecida pela identidade dada. Usando
Passo 5
Para
usamos o mesmo algoritmo mudando o termo para . Numericamente obtém-se
usamos o mesmo algoritmo mudando o termo para
Resposta
i) Justificações no Passo
.
ii) Pseudocódigo no Passo .
iii)
ii) Pseudocódigo no Passo
iii)
iv)