Para comparar as notas em uma prova de Estatística de duas turmas de alunos que frequentam uma Universidade foram selecionados 8 alunos independentemente de cada turma. As notas são apresentadas a seguir. Calcule o que se pede, considerando 10 \% de significância (utilize 4 casas decimais).
Turma Notas
A 54 57 47 51 56 52 43 52
B 67 78 82 69 84 81 71 85
a. No teste de hipótese bilateral para verificar a igualdade de variâncias, qual é o valor da estatística teste? \square
b. No teste de hipótese bilateral para verificar a igualdade de médias, qual é o valor da estatística teste? \square
c. Qual é o valor (ponto) crítico superior do teste realizado no item (a)? \square
d. Qual é o valor (ponto) crítico superior do teste realizado no item (b)? \square

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes de tamanho n_A = n_B = 8, com notas da Turma A e Turma B, e pede:
  • (a) a estatística de teste para igualdade de variâncias em teste bilateral ao nível \alpha=0,10,
  • (b) a estatística de teste para igualdade de médias em teste bilateral ao mesmo nível,
  • (c) o ponto crítico superior do teste de variâncias,
  • (d) o ponto crítico superior do teste de médias.
Para isso precisamos calcular as médias e as variâncias amostrais, depois a razão F e o t de Student com variâncias combinadas, e por fim os quantis críticos correspondentes.

Passo 2

Calcular médias e variâncias amostrais.
Média da Turma A:
\bar x_A = \frac{54+57+47+51+56+52+43+52}{8} = \frac{412}{8} = 51{,}5.
Desvio ao quadrado somado:
\sum (x_i - \bar x_A)^2 = 150{,}0,
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s_A^2 = \frac{150{,}0}{8-1} = \frac{150{,}0}{7} = 21{,}4286.
Média da Turma B:
\bar x_B = \frac{67+78+82+69+84+81+71+85}{8} = \frac{617}{8} = 77{,}125,
\sum (x_i - \bar x_B)^2 = 354{,}8748,
s_B^2 = \frac{354{,}8748}{7} = 50{,}6964.

Passo 3

Teste de variâncias (bilateral). Definimos
F = \frac{\max(s_A^2,\,s_B^2)}{\min(s_A^2,\,s_B^2)} = \frac{s_B^2}{s_A^2} = \frac{50{,}6964}{21{,}4286} \approx 2{,}3659.

Passo 4

Ponto crítico superior para o teste de variâncias ao nível bilateral \alpha=0{,}10 é
F_{1-\alpha/2}(7,7) = F_{0{,}95}(7,7) \approx 3{,}7870.

Passo 5

Como F = 2{,}3659 < 3{,}7870, não rejeitamos igualdade de variâncias e usamos o t-teste com variância agrupada. A variância combinada é
s_p^2 = \frac{(7\,s_A^2 + 7\,s_B^2)}{14} \approx 36{,}0625, \quad s_p \approx 6{,}004.
O estatístico de teste para médias é
t = \frac{\bar x_A - \bar x_B}{s_p\sqrt{\tfrac1{n_A} + \tfrac1{n_B}}} = \frac{51{,}5 - 77{,}125}{6{,}004\,\sqrt{\tfrac2{8}}} \approx -8{,}5384.

Passo 6

Ponto crítico superior para o t-teste bilateral com 14 graus de liberdade é
t_{1-\alpha/2}(14) = t_{0{,}95}(14) \approx 1{,}7613.

Resposta

(a) F = 2{,}3659.
(b) t = -8{,}5384.
(c) F_{\text{crit sup}} = 3{,}7870.
(d) t_{\text{crit sup}} = 1{,}7613.

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