• Questão 15. Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
    s(x)=\operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma série de potências que represente a função \displaystyle s(x)=\operatorname{arctg}x e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo principal é usar a expansão em série de potências de \tfrac1{1+u} e integrar termo a termo para obter \operatorname{arctg}x.

Passo 2

Começamos observando que
s'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}x\bigr)=\frac{1}{1+x^2}.
Para |x|<1 podemos usar a série geométrica com u=x^2:
\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,x^{2n}.

Passo 3

Integrando termo a termo de 0 a x, com s(0)=\operatorname{arctg}(0)=0, obtemos
\operatorname{arctg}x =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 4

A série obtida
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}
é uma série de potências com raio de convergência R=1. Nos extremos:
  • Para x=1 ela vira \sum(-1)^n/(2n+1), que converge (soma \pi/4).
  • Para x=-1 ela vira \sum(-1)^n(-1)^{2n+1}/(2n+1)=-\sum(-1)^n/(2n+1), que também converge (soma -\pi/4).
Logo o intervalo de convergência é [-1,1].

Resposta

\operatorname{arctg}x =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad x\in[-1,1].

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