- Questão 15. Ache uma série de potências que represente as funções e seus respectivos intervalos de convergências.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma série de potências que represente a função
e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo principal é usar a expansão em série de potências de
e integrar termo a termo para obter
.
Passo 2
Começamos observando que
Para
podemos usar a série geométrica com
:
Passo 3
Integrando termo a termo de
a
, com
, obtemos
Passo 4
A série obtida
é uma série de potências com raio de convergência
. Nos extremos:
- Para
ela vira , que converge (soma ). - Para
ela vira , que também converge (soma ).
Logo o intervalo de convergência é
.