Questão 11. Seja x^3+y^3+z-6 x y=0. Determine as equações do plano tangente e da reta normal do ponto (1,1, f(1,1)).

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
F(x,y,z)=x^3+y^3+z-6xy=0
e pede, no ponto (1,1,f(1,1)), as equações do plano tangente e da reta normal. Vamos usar o fato de que o gradiente de F em um ponto é um vetor normal à superfície, o que nos dá o plano tangente, e esse mesmo vetor fornece a direção da reta normal.

Passo 2

Para localizar o ponto concreto, escrevemos z=f(x,y) a partir de F(x,y,z)=0:
z = 6xy - x^3 - y^3
Em (x,y)=(1,1) isso vale
f(1,1) = 6cdot1cdot1 - 1^3 - 1^3 = 6 - 2 = 4
Logo o ponto de interesse é (1,1,4).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = partialpartial x(x^3+y^3+z-6xy) = 3x^2 - 6y,
Fy = 3y^2 - 6x,
Fz = 1

Passo 4

Avaliando em (1,1,4):
Fx(1,1,4) = 3cdot1^2 - 6cdot1 = 3 - 6 = -3,
Fy(1,1,4) = 3cdot1^2 - 6cdot1 = 3 - 6 = -3,
Fz(1,1,4) = 1
O vetor normal à superfície nesse ponto é, portanto, nabla F(1,1,4)=(-3,,-3,,1).

Passo 5

A equação do plano tangente em (1,1,4) com normal (-3,-3,1) vem de
-3,(x-1);-;3,(y-1);+;1,(z-4);=;0
Podemos simplificar:
-3x+3 -3y+3 + z -4 = 0 Longrightarrow -3x -3y + z +2 = 0
ou na forma explícita
z = 3x + 3y ;-;2

Passo 6

A reta normal passa por (1,1,4) e tem direção dada por nabla F(1,1,4)=(-3,-3,1). Em forma paramétrica:
ell: x = 1 - 3t, y = 1 - 3t, z = 4 + t

Resposta

Plano tangente:
-3(x-1) -3(y-1) + (z-4) = 0 Long<=ftrightarrow z = 3x + 3y - 2
Reta normal:
(x,y,z) = (1,1,4) + t,(-3,-3,1),
isto é,
x = 1 - 3t, y = 1 - 3t, z = 4 + t

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