Questão 11. Seja
. Determine as equações do plano tangente e da reta normal do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície implícita
e pede, no ponto
, as equações do plano tangente e da reta normal. Vamos usar o fato de que o gradiente de
em um ponto é um vetor normal à superfície, o que nos dá o plano tangente, e esse mesmo vetor fornece a direção da reta normal.
Passo 2
Para localizar o ponto concreto, escrevemos
a partir de
:
Em
isso vale
Logo o ponto de interesse é
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 4
Avaliando em
:
O vetor normal à superfície nesse ponto é, portanto,
.
Passo 5
A equação do plano tangente em
com normal
vem de
Podemos simplificar:
ou na forma explícita
Passo 6
A reta normal passa por
e tem direção dada por
. Em forma paramétrica:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal:
isto é,