Questão 12. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas
A=[rrrr 1 & -2 & 3 & -1 2 & -1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 & 3 ], B=[rrrr 0 & 1 & 3 & 2 2 & 1 & -4 & 3 2 & 3 & 2 & -1 ], C=[rrr 0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para levar as matrizes A, B e C à forma escada reduzida por linhas (RREF) usando operações elementares de linha (troca, escala e combinação linear). Vamos aplicar o método de Gauss-Jordan a cada uma.

Passo 2

Para A, primeiro usamos R1 como pivô em coluna 1. Aplicamos
R2 R2-2R1, R3 R3-3R1
para zerar abaixo de (1,1). Obtemos
1 & -2 & 3 & -1 0 & 3 & -4 & 5 0 & 7 & -7 & 6

Passo 3

Ainda em A, tornamos pivô de R2 igual a 1 com R2tfrac13R2 e em seguida zeramos col 2 em R1 e R3 via
R1 R1+2R2, R3 R3-7R2
Fica
1 & 0 & tfrac13 & tfrac73 0 & 1 & -tfrac43 & tfrac53 0 & 0 & tfrac73 & -tfrac173

Passo 4

Por fim, em A fazemos R3 tfrac37R3 para pivô 1 e zeramos acima em col 3:
R1 R1-tfrac13R3, R2 R2+tfrac43R3
A RREF de A é
1 & 0 & 0 & tfrac227 0 & 1 & 0 & -tfrac117 0 & 0 & 1 & -tfrac177

Passo 5

Para B, primeiro garantimos pivô não nulo em (1,1) trocando R1rightarrow R2. Depois escalamos R1tfrac12R1 e zeramos col 1 em R3 com R3 R3-2R1. Ficamos com
1 & tfrac12 & -2 & tfrac32 0 & 1 & 3 & 2 0 & 2 & 6 & -4

Passo 6

Ainda em B, usando pivô 1 em (2,2) zeramos col 2 em R1 e R3:
R1 R1-tfrac12R2, R3 R3-2R2,
ficando
1 & 0 & -tfrac72 & tfrac12 0 & 1 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & -8
Como o próximo pivô está em (3,4), fazemos R3 -tfrac18R3 e zeramos acima:
R1 R1-tfrac12R3, R2 R2-2R3
A RREF de B é
1 & 0 & -tfrac72 & 0 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 7

Para C, trocamos R1rightarrow R2 para pivô em (1,1), depois zeramos embaixo com
R3 R3-3R1, R4 R4-2R1
ficando
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5
Escalamos R2tfrac12R2 e zeramos col 2 em R1,R3,R4 via
R1 R1-R2, R3 R3+7R2, R4 R4+5R2
A RREF de C é
1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

A RREF de A é
1 & 0 & 0 & tfrac227 0 & 1 & 0 & -tfrac117 0 & 0 & 1 & -tfrac177 ,
de B é
1 & 0 & -tfrac72 & 0 0 & 1 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ,
e de C é
1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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