Questão 11.

(Sheldon Ross) Um sistema é formado por 5 componentes; cada um deles ou está funcionando ou esta estragado. Considere um experimento que consiste em observar a condição de cada componente e represente o resultado do experimento como o vetor ( x1, x2, x3, x4, x5 ), onde xi é igual a 1 se o componente i estiver funcionando e a 0 se i estiver estragado.
a) Existem quantos resultados no espaço amostral desse experimento?
b) Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1,3 e 5 estiverem funcionando. Seja W o evento em que o sistema irá funcionar. Especifique todos os resultados em W.
c) Seja A o evento em que os componentes 4 e 5 estão estragados. Quantos resultados estão contidos no evento A ?
d) Escreva todos os resultados no evento A cap W e A cup W.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema com cinco componentes, cada um podendo estar funcionando (estado 1) ou estragado (estado 0). Representamos o resultado de um teste como o vetor
(x1,x2,x3,x4,x5)in0,1^5.
Conteúdos envolvidos: contagem de resultados em espaços binários e operações com eventos (união, interseção, complementar).

Passo 2

(a) Cada componente tem duas possibilidades independentes. Logo o espaço amostral tem
2^5 = 32
resultados.

Passo 3

(b) Definimos o evento W em que o sistema funciona como a união de três condições:
A:;x1=1 e x2=1.
B:;x3=1 e x4=1.
C:;x1=1,;x3=1 e x5=1.
Para listar todos os vetores em W:
  1. Em A fixamos x1=x2=1 e os outros livres ( 2^3=8 vetores):
(1,1,0,0,0),,(1,1,0,0,1),,(1,1,0,1,0),,(1,1,0,1,1),, (1,1,1,0,0),,(1,1,1,0,1),,(1,1,1,1,0),,(1,1,1,1,1)
  1. Em B fixamos x3=x4=1; dos 2^3=8 vetores com isto, excluímos os 2 já em A (quando x1=x2=1), sobrando 6 novos:
(0,0,1,1,0),,(0,0,1,1,1),,(0,1,1,1,0),,(0,1,1,1,1),,(1,0,1,1,0),,(1,0,1,1,1)
  1. Em C fixamos x1=x3=x5=1; dos 4 vetores, excluímos os que já estão em A (quando x2=1) ou em B (quando x4=1), sobrando 1 só:
(1,0,1,0,1)
Portanto
W=, (1,1,0,0,0),,(1,1,0,0,1),,(1,1,0,1,0),,(1,1,0,1,1), (1,1,1,0,0),,(1,1,1,0,1),,(1,1,1,1,0),,(1,1,1,1,1),
(0,0,1,1,0),,(0,0,1,1,1),,(0,1,1,1,0),,(0,1,1,1,1), (1,0,1,1,0),,(1,0,1,1,1),,(1,0,1,0,1),
totalizando 15 vetores.

Passo 4

(c) Seja A o evento “componentes 4 e 5 estragados”, ou seja x4=0 e x5=0. Os outros três x1,x2,x3 são livres, dando
2^3 = 8
resultados em A.

Passo 5

(d) Para Acap W escolhemos de W apenas os vetores com x4=0 e x5=0. Da lista de W restam:
Acap W = , (1,1,0,0,0),;(1,1,1,0,0)
Para Acup W unimos todos os vetores de W com todos de A. Já que lvert Arvert=8, lvert Wrvert=15 e lvert Acap Wrvert=2, tem-se
lvert Acup Wrvert = 8 + 15 - 2 = 21
Explicitamente, Acup W é a lista de todos os 15 vetores de W mais os 6 vetores de A que não estão em W, a saber
(0,0,0,0,0),,(0,0,1,0,0),,(0,1,0,0,0),,(0,1,1,0,0),,(1,0,0,0,0),,(1,0,1,0,0),
além dos 15 de W.

Resposta

(a) 32
(b) Lista de 15 vetores mostrada no passo 3
(c) 8
(d)
Acap W=(1,1,0,0,0),(1,1,1,0,0)
Acup W contém os 15 vetores de W mais
(0,0,0,0,0), (0,0,1,0,0), (0,1,0,0,0), (0,1,1,0,0), (1,0,0,0,0), (1,0,1,0,0).

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