Questão 11.
(Sheldon Ross) Um sistema é formado por 5 componentes; cada um deles ou está funcionando ou esta estragado. Considere um experimento que consiste em observar a condição de cada componente e represente o resultado do experimento como o vetor (
), onde
é igual a 1 se o componente
estiver funcionando e a 0 se
estiver estragado.
a) Existem quantos resultados no espaço amostral desse experimento?
b) Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1,3 e 5 estiverem funcionando. Seja
o evento em que o sistema irá funcionar. Especifique todos os resultados em
.
c) Seja
o evento em que os componentes 4 e 5 estão estragados. Quantos resultados estão contidos no evento
?
d) Escreva todos os resultados no evento
e
.
a) Existem quantos resultados no espaço amostral desse experimento?
b) Suponha que o sistema irá funcionar se os componentes 1 e 2 estiverem funcionando, ou se os componentes 3 e 4 estiverem funcionando, ou se os componentes 1,3 e 5 estiverem funcionando. Seja
c) Seja
d) Escreva todos os resultados no evento
Passo 1
O enunciado descreve um sistema com cinco componentes, cada um podendo estar funcionando (estado 1) ou estragado (estado 0). Representamos o resultado de um teste como o vetor
.
Conteúdos envolvidos: contagem de resultados em espaços binários e operações com eventos (união, interseção, complementar).
Conteúdos envolvidos: contagem de resultados em espaços binários e operações com eventos (união, interseção, complementar).
Passo 2
(a) Cada componente tem duas possibilidades independentes. Logo o espaço amostral tem
resultados.
Passo 3
(b) Definimos o evento
em que o sistema funciona como a união de três condições:
– e
.
– e
.
– e
.
–
–
–
Para listar todos os vetores em
:
- Em
fixamos e os outros livres ( vetores):
- Em
fixamos ; dos vetores com isto, excluímos os 2 já em (quando ), sobrando 6 novos:
- Em
fixamos ; dos 4 vetores, excluímos os que já estão em (quando ) ou em (quando ), sobrando 1 só:
Portanto
totalizando 15 vetores.
Passo 4
(c) Seja
o evento “componentes 4 e 5 estragados”, ou seja
e
. Os outros três
são livres, dando
resultados em
.
Passo 5
(d) Para
escolhemos de
apenas os vetores com
e
. Da lista de
restam:
Para
unimos todos os vetores de
com todos de
. Já que
,
e
, tem-se
Explicitamente,
é a lista de todos os 15 vetores de
mais os 6 vetores de
que não estão em
, a saber
além dos 15 de
.
Resposta
(a)
(b) Lista de 15 vetores mostrada no passo 3
(c)
(d)
contém os 15 vetores de
mais
.
(b) Lista de 15 vetores mostrada no passo 3
(c)
(d)