Questão 11)Um tronco uniforme de 103 Kg está pendurado por dois fios de aço ( E=200 \times 10^{9} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} ) A e B cujo diâmetro da seção transversal mede 2,4 \mathrm{~mm}. Inicialmente o fio A tinha 2,5 \mathrm{~m} de comprimento e era 2 mm mais curto que o fio B . O tronco está agora na horizontal. Qual o módulo da força exercida no tronco (a) pelo fio A

Passo 1

O enunciado pede o módulo da força exercida no tronco pelo fio A. Dados fornecidos (peguei alguns valores do enunciado; a figura só mostra posições dos fios, sem números de distância):
  • Massa do tronco: M=103\\ \mathrm{kg}.
  • Aceleração da gravidade: vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Módulo de Young do aço: E=200\times10^{9}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Diâmetro da seção dos fios: d=2{,}4\\ \mathrm{mm}=2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento inicial do fio A: L_{A0}=2{,}50\\ \mathrm{m}.
  • O fio A era 2{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m} mais curto que B, logo o comprimento inicial do fio B é L_{B0}=2{,}502\\ \mathrm{m}.
  • O tronco ficou na horizontal: isso implica que, no equilíbrio final, as duas extremidades verticais (os fios) têm o mesmo comprimento final L_{f}.
  • Na figura aparecem as distâncias horizontais do centro de massa até as linhas de ação das tensões: d_A e d_B. Esses valores aparecem apenas como símbolos na figura; não há números para d_A e d_B no enunciado fornecido.
O que precisamos encontrar:
  • O valor da força (tensão) no fio A, isto é T_A.

Passo 2

Vamos montar as equações de equilíbrio e a relação elástica que liga tensão e alongamento dos fios. Primeiro, conceitos e fórmulas (explicando cada símbolo):
  • Equilíbrio vertical (forças verticais somam zero):
T_A + T_B = Mg,
onde T_A e T_B são as tensões nos fios A e B, respectivamente, e Mg é o peso do tronco.
  • Equilíbrio de torques (momento resultante em torno do centro de massa = 0): como as tensões são verticais, seus momentos são T_A d_A e T_B d_B; o equilíbrio exige
T_A d_A = T_B d_B.
Isso garante que não haja rotação do tronco.
  • Lei elástica (Hooke) para um fio: para um fio de comprimento inicial L_0, área de seção A, módulo de Young E, e alongamento \Delta L,
T = \frac{E A}{L_0}\,\Delta L.
Aqui T é a tensão resultante do alongamento \Delta L. Note que cada fio tem seu L_0 (aqui L_{A0} e L_{B0}) e terá um \Delta L possivelmente diferente.
  • Área da seção circular do fio:
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2.
Com d=2{,}4\times10^{-3}\\ \mathrm{m} obteremos A.
  • Geometria do problema (tronco horizontal): o comprimento final de ambos os fios é igual: L_f. Logo as variações são \Delta L_A = L_f - L_{A0} e \Delta L_B = L_f - L_{B0}. Subtraindo:
\Delta L_A - \Delta L_B = L_{B0}-L_{A0} \equiv \delta,
onde \delta=0{,}002\\ \mathrm{m} (B é maior que A). Essa relação gera uma equação entre T_A e T_B ao usar a lei elástica.
Resumo: teremos três equações (força, torque, relação de alongamentos) para as incógnitas T_A, T_B e L_f. Vou eliminar L_f e resolver para T_A.

Passo 3

Escrever a equação da diferença dos alongamentos em termos das tensões, usando a lei elástica.
Para A:
\Delta L_A = \frac{T_A L_{A0}}{E A}.
Para B:
\Delta L_B = \frac{T_B L_{B0}}{E A}.
Como \Delta L_A-\Delta L_B = \delta, obtemos
\frac{T_A L_{A0}}{E A}-\frac{T_B L_{B0}}{E A} = \delta.
Multiplicando por E A:
T_A L_{A0} - T_B L_{B0} = \delta E A.
Esta é a terceira equação que precisamos usar junto com equilíbrio de forças e torques.

Passo 4

Usar equilíbrio de forças e torques para expressar T_A e T_B em forma conveniente.
Da condição de torque:
\frac{T_A}{T_B} = \frac{d_B}{d_A}.
Defina r=\dfrac{d_B}{d_A}. Então
T_A = r\,T_B.
Da condição de forças:
T_A+T_B = Mg \quad\Rightarrow\quad r T_B+T_B = Mg \quad\Rightarrow\quad T_B = \frac{Mg}{1+r}.
E portanto
T_A = \frac{Mg\,r}{1+r}.
Agora substituímos essas expressões na equação dos alongamentos:
T_A L_{A0} - T_B L_{B0} = \delta E A.
Substituindo T_A e T_B:
\frac{Mg\,r}{1+r} L_{A0} - \frac{Mg}{1+r} L_{B0} = \delta E A.
Fator comum \dfrac{Mg}{1+r}:
\frac{Mg}{1+r}\left(r L_{A0} - L_{B0}\right) = \delta E A.
Multiplicando ambos os lados por 1+r e isolando termos em r:
Mg\left(r L_{A0} - L_{B0}\right) = \delta E A (1+r).
Agrupando os termos com r:
r\left(Mg L_{A0} - \delta E A\right) = Mg L_{B0} + \delta E A.
Finalmente obtemos r explicitamente:
r = \frac{Mg L_{B0} + \delta E A}{Mg L_{A0} - \delta E A}.
Observe que essa expressão determina r=\dfrac{d_B}{d_A} necessário para que o tronco fique horizontal com os comprimentos iniciais dados — notavelmente, a relação não depende do valor absoluto de d_A, apenas da razão r. Uma vez que r é conhecido, podemos obter T_A por
T_A = \frac{Mg\,r}{1+r}.

Passo 5

Cálculos numéricos passo a passo.
  1. Área da seção do fio:
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\pi\left(\frac{2{,}4\times10^{-3}}{2}\right)^2 =\pi(1{,}2\times10^{-3})^2 =\pi(1{,}44\times10^{-6})
A\approx 4{,}5239\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Calcular o termo X=\dfrac{\delta E A}{Mg} que aparece nas fórmulas (vou primeiro calcular \delta E A e Mg):
  • Mg = 103\times 9{,}8 = 1009{,}4\\ \mathrm{N}.
  • E A = 200\times10^{9}\times 4{,}5239\times10^{-6}\approx 904{,}778{,}6\\ \mathrm{N}.
  • \delta E A = 0{,}002\times 904{,}778{,}6 \approx 1{,}809{,}557\\ \mathrm{N\cdot m} (unidade efetiva de N porque \delta é m e EA é N).
Logo
X=\frac{\delta E A}{Mg} \approx \frac{1{,}809{,}557}{1009{,}4}\approx 1{,}7926\\ \mathrm{m}.
  1. Calcular r pela fórmula obtida:
r=\frac{L_{B0} + X}{L_{A0} - X}.
Substituindo L_{A0}=2{,}50, L_{B0}=2{,}502 e X\approx1{,}7926:
r\approx \frac{2{,}502 + 1{,}7926}{2{,}50 - 1{,}7926} = \frac{4{,}2946}{0{,}7074}\approx 6{,}073.
  1. Agora T_A=\dfrac{Mg\,r}{1+r}:
T_A \approx \frac{1009{,}4\times 6{,}073}{1+6{,}073} =1009{,}4\cdot\frac{6{,}073}{7{,}073} \approx 1009{,}4\times0{,}8587 \approx 867{,}0\\ \mathrm{N}.
(Verificação rápida: T_B=Mg-T_A\approx1009{,}4-867{,}0=142{,}4\\ \mathrm{N}. Com isso \Delta L_A=\dfrac{T_A L_{A0}}{E A}\approx 2{,}395\\ \mathrm{mm} e \Delta L_B\approx 0{,}395\\ \mathrm{mm}; a diferença é \approx 2{,}000\\ \mathrm{mm}, coerente com \delta=2{,}000\\ \mathrm{mm}.)

Passo 6

Interpretação física curta (para ajudar na prova): o fio A fica com tensão muito maior que B porque A era originalmente mais curto — ao forçar os dois fios ao mesmo comprimento final, A precisa alongar muito mais que B, e como cada fio resiste com força proporcional ao seu alongamento relativo multiplicado por E A / L_0, o equilíbrio de torques exige que o fio mais próximo do ponto que cria maior alavanca suporte menos carga; o resultado algebraico mostra que a razão das alavancas d_B/d_A se ajusta para satisfazer a condição geométrica, e assim obtemos T_A sem precisar dos valores absolutos de d_A e d_B.

Resposta

T_A \approx 867{,}0\\ \mathrm{N}

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