Questão 11)Um tronco uniforme de 103 Kg está pendurado por dois fios de aço (
) A e B cujo diâmetro da seção transversal mede
. Inicialmente o fio A tinha
de comprimento e era 2 mm mais curto que o fio B . O tronco está agora na horizontal. Qual o módulo da força exercida no tronco (a) pelo fio A
Passo 1
O enunciado pede o módulo da força exercida no tronco pelo fio A. Dados fornecidos (peguei alguns valores do enunciado; a figura só mostra posições dos fios, sem números de distância):
- Massa do tronco:
. - Aceleração da gravidade: vou usar
. - Módulo de Young do aço:
. - Diâmetro da seção dos fios:
. - Comprimento inicial do fio A:
. - O fio A era
mais curto que B, logo o comprimento inicial do fio B é . - O tronco ficou na horizontal: isso implica que, no equilíbrio final, as duas extremidades verticais (os fios) têm o mesmo comprimento final
. - Na figura aparecem as distâncias horizontais do centro de massa até as linhas de ação das tensões:
e . Esses valores aparecem apenas como símbolos na figura; não há números para e no enunciado fornecido.
O que precisamos encontrar:
- O valor da força (tensão) no fio A, isto é
.
Passo 2
Vamos montar as equações de equilíbrio e a relação elástica que liga tensão e alongamento dos fios. Primeiro, conceitos e fórmulas (explicando cada símbolo):
- Equilíbrio vertical (forças verticais somam zero):
onde
e
são as tensões nos fios A e B, respectivamente, e
é o peso do tronco.
- Equilíbrio de torques (momento resultante em torno do centro de massa = 0): como as tensões são verticais, seus momentos são
e ; o equilíbrio exige
Isso garante que não haja rotação do tronco.
- Lei elástica (Hooke) para um fio: para um fio de comprimento inicial
, área de seção , módulo de Young , e alongamento ,
Aqui
é a tensão resultante do alongamento
. Note que cada fio tem seu
(aqui
e
) e terá um
possivelmente diferente.
- Área da seção circular do fio:
Com
obteremos
.
- Geometria do problema (tronco horizontal): o comprimento final de ambos os fios é igual:
. Logo as variações são e . Subtraindo:
onde
(B é maior que A). Essa relação gera uma equação entre
e
ao usar a lei elástica.
Resumo: teremos três equações (força, torque, relação de alongamentos) para as incógnitas
,
e
. Vou eliminar
e resolver para
.
Passo 3
Escrever a equação da diferença dos alongamentos em termos das tensões, usando a lei elástica.
Para A:
Para B:
Como
, obtemos
Multiplicando por
:
Esta é a terceira equação que precisamos usar junto com equilíbrio de forças e torques.
Passo 4
Usar equilíbrio de forças e torques para expressar
e
em forma conveniente.
Da condição de torque:
Defina
. Então
Da condição de forças:
E portanto
Agora substituímos essas expressões na equação dos alongamentos:
Substituindo
e
:
Fator comum
:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando termos em
:
Agrupando os termos com
:
Finalmente obtemos
explicitamente:
Observe que essa expressão determina
necessário para que o tronco fique horizontal com os comprimentos iniciais dados — notavelmente, a relação não depende do valor absoluto de
, apenas da razão
. Uma vez que
é conhecido, podemos obter
por
Passo 5
Cálculos numéricos passo a passo.
- Área da seção do fio:
- Calcular o termo
que aparece nas fórmulas (vou primeiro calcular e ):
-
-
-
(unidade efetiva de N porque é m e é N).
Logo
- Calcular
pela fórmula obtida:
Substituindo
,
e
:
- Agora
:
(Verificação rápida:
. Com isso
e
; a diferença é
, coerente com
.)
Passo 6
Interpretação física curta (para ajudar na prova): o fio A fica com tensão muito maior que B porque A era originalmente mais curto — ao forçar os dois fios ao mesmo comprimento final, A precisa alongar muito mais que B, e como cada fio resiste com força proporcional ao seu alongamento relativo multiplicado por
, o equilíbrio de torques exige que o fio mais próximo do ponto que cria maior alavanca suporte menos carga; o resultado algebraico mostra que a razão das alavancas
se ajusta para satisfazer a condição geométrica, e assim obtemos
sem precisar dos valores absolutos de
e
.