Questão 11. Usando o método de coeficientes a determinar resolva o PVI:
.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem o PVI
com condições iniciais
e
. É uma EDO linear de coeficientes constantes não homogênea e vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea
. A equação característica é
, raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
.
Passo 3
Para o termo
do lado direito, fazemos o palpite
porque
bate com a raiz dupla e multiplicamos por
. Definindo
, aplicamos o operador
e usamos a propriedade
. Substituindo na EDO fica
, ou seja
. Como
, igualando coeficientes obtemos
e
, logo
,
. Assim
.
Passo 4
Para o termo constante
a gente tenta
. Como
, impomos
. Logo
.
Passo 5
A solução geral é
Aplicando
dá
e então
. Para a derivada usamos
com
, daí
. Avaliando em
e impondo
resulta
, logo
.
Resposta
y(t)=\bigl(-3+3t+\tfrac{t3}{6}\bigr)et+4