Questão 11. Usando o método de coeficientes a determinar resolva o PVI:
y^prime prime-2 y^prime+y=t e^t+4, y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o PVI y''-2y'+y = t e^t + 4 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. É uma EDO linear de coeficientes constantes não homogênea e vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea y''-2y'+y=0. A equação característica é r^2-2r+1=(r-1)^2=0, raiz dupla r=1. Logo a solução homogênea é yh=(C1+C2t)e^t.

Passo 3

Para o termo t e^t do lado direito, fazemos o palpite yp1=e^t t^2(At+B)=e^t(At^3+Bt^2) porque e^t bate com a raiz dupla e multiplicamos por t^2. Definindo u(t)=At^3+Bt^2, aplicamos o operador (D-1)^2 e usamos a propriedade (D-1)^2[u e^t]=u''e^t. Substituindo na EDO fica u''e^t = t e^t, ou seja u''=t. Como u''=6At+2B, igualando coeficientes obtemos 6A=1 e 2B=0, logo A=1/6, B=0. Assim yp1=t^36e^t.

Passo 4

Para o termo constante 4 a gente tenta yp2=D. Como yp2''-2yp2'+yp2=D, impomos D=4. Logo yp2=4.

Passo 5

A solução geral é y=(C1+C2t)e^t+t^36e^t+4 Aplicando y(0)=1 C1+4=1 e então C1=-3. Para a derivada usamos y=w e^t+4 com w=C1+C2t+tfract^36, daí y'=(w'+w)e^t. Avaliando em t=0 e impondo y'(0)=0 resulta C1+C2=0, logo C2=3.

Resposta

y(t)=\bigl(-3+3t+\tfrac{t3}{6}\bigr)et+4

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